Xác suất và thống kê toán: Hướng dẫn giải bài tập - Phần 2

Nối tiếp phần 1, phần 2 của tài liệu "Xác suất và thống kê toán: Hướng dẫn giải bài tập" có nội dung trình bày về: kiểm định giả thuyết thống kê; tiêu chuẩn kiểm định; kiểm định giả thuyết về kì vọng toán của một đại lượng ngẫu nhiên; so sánh kì vọng của hai đại lượng ngẫu nhiên; kiểm định giả thiết về tỉ lệ của đám đông; so sánh phương sai của hai đại lượng ngẫu nhiên phân phối chuẩn;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Xác suất và thống kê toán: Hướng dẫn giải bài tập - Phần 2 Chương 6 Kiểm định giả thuyết thống kê 6.1 Một số khái niệm và định nghĩa 6.1.1 Giả thuyết thống kê Giả thuyết về quy luật phân phối xác suất của ĐLNN, về tham số đặc trưng của ĐLNN hoặc về tính độc lập của các ĐLNN được gọi là giả thuyết thống kê, kí hiệu là Ho Mội giả thuyết trái với giả thuyết Ho được gọi là đối thuyết, kí hiệu là Hỵ. Ho và Hỵ lập thành một cặp giả thuyết thống kê. Ta quy định: Khi đã chọn cặp giả thuyết Ho, Hi thì nếu bác bỏ Ho ta sẽ chấp nhận Hì- 6.1.2 Tiêu chuẩn kiểm định Để kiểm định cặp giả thuyết thống kê Ho và H1, từ đám đông ta chọn mẫu ngẫu nhiên : w = (X1, x2,. ■ ■, Xn). Dựa trên mẫu này ta xây dựng thống kê: G = f(x1,x2,...,xn,&o) trong đó ỚQ là một tham số liên quan đến Ho, sao cho nếu Ho đúng thì quy luật phân phối xác suất của G hoàn toàn xác định. Khi đó thống kê G được gọi là tiêu chuẩn kiểm, định. 6.1.3 Miền bác bỏ Để xây dựng miền bác bỏ, ta sử dụng nguyên lý xác suất nhỏ: Nếu một biến cố có xác suất khá bé ta có thể coi nó không xảy ra trong một lần thực 97 hiện phép thử. Vì đã biết quy luật phân phối xác suất của G, nên với một xác suất a khá bé cho trước ta có thể tìm được miền wa, gọi là miền bác bỏ, sao cho nếu giả thuyết Ho đúng thì xác suất để G nhận giá trị thuộc miền Wa bằng a: P(G e Wa/Hữ) = a (6.1) Vì a khá bé, theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có thể coi biến cố (G G Wa/Ho) không xảy ra trong một lần thực hiện phép thử. Nếu từ một mẫu cụ thể w = (æi, X2,..., xn) ta tìm được giá trị thực nghiệm gtn = (aq, x2,..., xn, ỡo) mà gtn 6 Wa (nghĩa là vừa thực hiện phép thử một lần đã thấy biến cố (Ge Wa/Ho) xảy ra) ta có cơ sở bác bỏ giả thuyết Ho. Ký hiệu wa là miền bù của wa. Khi đó ta có P(G ç. Wa/Ho) = 1 — a. Vì a khá bé nên 1 — a khá gần 1. Theo nguyên lý xác suất lớn: Nếu một biến cố có xác suất khá gần ỉ ta có the coi nó sẽ xảy ra trong một lần thực hiện phép thử, nếu trong một lần lấy mẫu ta thấy gtn 6 wa thì giả thuyết Ho tỏ ra hợp lý, chưa có cơ sỏ bác bỏ Ho. Vì vậy ta có quy tắc kiểm định sau: Từ đám đông ta lấy ra một mẫu cụ thể kích thước n : w = (xỵ,X2,..., Xn) và tính gtn. - Nếu gtn 6 wa thì bác bỏ Ho và chấp nhận H1. - Nếu gtn ị wa thì chưa có cơ sở bác bỏ Ho- 6.1.4 Các loại sai lầm Theo quy tắc kiểm định trên ta có thể mắc hai loại sai lầm như sau: - Sai lầm loại một là sai lầm bác bỏ giả thiết Ho khi Ho đúng. Theo (6.1) ta có xác suất mắc sai lầm loại một bằng a. Giá trị a được gọi là mức ý nghĩa. - Sai lầm loại hai là sai lầm chấp nhận Ho khi chính nó sai. Nếu kí hiệu xác suất mắc sai lầm loại hai là ß thì ta có: P(G e Wa/Ho) = ß Sai lầm loại một và sai lầm loại hai có quan hệ mật thiết với nhau: Khi kích thước mẫu xác định, nếu giảm a thì ß tăng và ngược lại. Do đó không thể lấy a bé tùy ý được. Người ta thường chọn a = 0,1;; 0,05; 0,01; 0,001. 98 6.2 Kiểm định giả thuyết về kì vọng toán của một ĐLNN Giả sử ta cần nghiên cứu một dấu hiệu X thể hiện trên một đám đông. Kí hiệu EỢC) = ỊJL, Var(X) = ơ2, trong đó ịi chưa biết. Từ một cơ sỏ nào đó người ta tìm được ịi = ịiũ, nhưng nghi ngờ về điều này. Vâi mức ý nghĩa a cho trước ta cần kiểm định giả thuyết Ho : ụ. = /Xo- Từ đám đông ta lấy mẫu: w — (Xi, X2, • •. ,Xn) và tính được các đặc trưng mẫu: *=ề và s'2 = - *)2 TI i=1 n — 1 ¿=1 Xét các trường hợp sau: 6.2.1 ĐLNN X trên đám đông có phân phối chuẩn với cr2 đã biết Vì X có phân phối chuẩn nên: X ~ Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định (XDTCKĐ): (6.2) y/n Nếu Ho đúng thì ư ~ N(o, 1). Xét những bài toán cụ thể sau: Hq : ụ. = ụ,Q Bài toán 1: < Hi : ịio Với a cho trước ta có thể tìm được ua sao ch°: ^*(1^1 > =a Theo 6.1.3 ta có miền bác bỏ: Wa = {utn : lutn| > UỊ} Trong đó: X — ụo ntn ơ’ ựn Bài toán 2: < 7/1 : fj, > Ho Với a cho trước, ta có thể tìm được Ua sao ch°: ^(^ > = a. Từ đó ta có miền bác bỏ: Wa = {utn : Utn 99 Ho : /z = Ho Bài toán 3: < Hỉ : H < Hữ Với a cho trước, ta có thể tìm được ua sao cho: p(u < — ua) = a. Từ đó ta có miền bác bỏ: wa = {utn : Utn < — ưQ} Phương pháp P-giá trị (P-Value) 1. Công thức tìm P-giá trị nÁ; ,,/k ux; . - í H° : = ^0 a. Đỗi v ...