Áp dụng định lí Rolle trong chứng minh bất đẳng thức đa thức

Nội dung bài viết "Áp dụng định lí Rolle trong chứng minh bất đẳng thức đa thức" nhằm khảo sát một số ứng dụng của định lí Rolle trong đa thức. Sử dụng các đồng nhất thức đa thức, các định lí Rolle, Lagrange,... cho phép chứng minh các bất đẳng thức và các bài toán cực trị liên quan. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết mội dung bài viết!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Áp dụng định lí Rolle trong chứng minh bất đẳng thức đa thức Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ ROLLE TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐA THỨC Lê Thị Minh Trường THPT Sầm Sơn, Thanh Hóa Tóm tắt nội dung Nội dung báo cáo nhằm khảo sát một số ứng dụng của định lí Rolle trong đa thức. Sử dụng các đồng nhất thức đa thức, các định lí Rolle, Lagrange,. . . cho phép chứng minh các bất đẳng thức và các bài toán cực trị liên quan. 1 Định lí Rolle đối với đa thức Định lý 1.1 (Định lí Rolle). Cho f là hàm liên tục trên đoạn [ a, b] và có đạo hàm tại mọi x ∈ ( a, b). Nếu f ( a) = f (b) thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ ( a, b) để f 0 (c) = 0. Hệ quả 1.1 (Định lí Rolle đối với đa thức). Nếu đa thức f ( x ) có n (n ≥ 1) nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( a, b) thì đạo hàm của nó f 0 ( x ) là đa thức có ít nhất n − 1 nghiệm thuộc khoảng ( a, b). Các đa thức f (k) ( x ) (1 ≤ k ≤ n) có ít nhất n − k nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( a, b). Hệ quả 1.2. Cho đa thức f 0 ( x ) có không quá n − 1 nghiệm phân biệt trong khoảng ( a, b) thì đa thức f ( x ) có không quá n nghiệm phân biệt trong khoảng đó. Hệ quả 1.3. Cho đa thức f ( x ) bậc n ≥ 1 thỏa mãn điều kiện f ( a) = f 0 ( a) = · · · = f (n) ( a) = 0, f (b) = 0. Khi đó tồn tại dãy điểm b1 , b2 , . . . , bn+1 sao cho f (k) (bk ) = 0, k = 1, 2, . . . , n + 1. Ta phát biểu một dạng khác của định lí Rolle cho đa thức. Định lý 1.2 (Định lí Rolle mở rộng cho đa thức, , xem [5]). Nếu a, b là hai không điểm kề nhau của đa thức f ( x ) (nghĩa là f ( a) = f (b) = 0, f ( x ) 6= 0 với a < x < b) thì trong khoảng ( a, b) đa thức f 0 ( x ) có một số lẻ (kể cả bội) các không điểm (do đó có ít nhất một không điểm). Tiếp theo, ta xét một hệ quả quan trọng của định lí Rolle, đó là định lí Lagrange. 1 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019Định lý 1.3 (Định lí Lagrange, xem [5]). Giả sử hàm f liên tục trên đoạn [ a, b] và có đạohàm tại mọi điểm trong khoảng ( a, b). Khi đó tồn tại điểm c ∈ ( a, b) để f (b) − f ( a) = f 0 (c)(b − a). (1.1) Công thức (1.1) được gọi là công thức số gia hữu hạn Lagrange.Nhận xét 1.1. 1) Ta đã thu được định lí Lagrange như là một hệ quả của định lí Rolle. 2) Ngược lại, định lí Rolle cũng là một trường hợp riêng của định lí Lagrange khif ( b ) = f ( a ).2 Sử dụng định lí Rolle trong chứng minh bất đẳngthức đa thức Trước hết ta chứng minh bổ đề sau:Bổ đề 2.1. Cho đa thức Q( x ) bậc m và có m nghiệm thực đơn. Khi đó h 0 i2 00 Q (x) − Q( x ).Q ( x ) > 0, ∀ x ∈ R.Chứng minh. Thật vậy, gọi x1 , x2 , . . . , xm là nghiệm của Q( x ). Theo định lí Bezout, ta có Q ( x ) = a ( x − x1 ) ( x − x2 ) . . . ( x − x m ) , x i 6 = x j ( i 6 = j ) . Khi đó 0 1 1 1 Q ( x ) = a ( x − x1 ) ( x − x2 ) . . . ( x − x m ) + +···+ . x − x1 x − x2 x − xm 0 Q (x) m 1 Do đó = ∑ . Q( x ) i =1 x − x i Lấy đạo hàm hai vế, ta được [ Q0 ( x )]2 − Q( x ).Q00 ( x ) m 1 [ Q( x )] 2 = ∑ 2 . (2.1) i =1 ( x − x i ) Trường hợp 1. Nếu t ∈ R mà Q(t) = 0, thì 2 2 Q0 (t) − Q(t).Q00 (t) = Q0 (t) > 0 do t là nghiệm đơn của Q(t) nên Q0 (t) 6= 0. Trường hợp 2. Nếu t ∈ R và Q(t) 6= 0 thì h 0 i2 00 (2.1) ⇔ Q (t) − Q(t).Q (t) > 0.Bổ đề được chứng minh. ...