Bài giảng Chuyên đề 6: Bất đẳng thức - Nguyễn Bá Trung

Bài giảng Chuyên đề 6: Bất đẳng thức do thầy Nguyễn Bá Trung biên soạn sẽ giới thiệu tới các bạn một số vấn đề cơ bản về các bất đẳng thức hay dùng như: Bất đẳng thức Côsi; bất đẳng thức Bunhiacopxki BĐT trị tuyệt đối; bất đẳng thức véc tơ;...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Chuyên đề 6: Bất đẳng thức - Nguyễn Bá TrungGi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – trêng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò: 6 BÊT §¼NG THøC – GTLN - GTNN 6.1 Các bất đẳng thức hay dùng: 6.1.1 Bất Đẳng thức Côsi Cơ sở lý thuyết: a. Bất Đẳng thức Cô si cho 2 số : Cho 2 số a, b  0. Khi đó: a + b  2 ab . Dấu = xảy ra khi a = b. b. Bất Đẳng thức Cô si cho 3 số : Cho 3 số a, b, c  0 . Khi đó ta có: a + b + c  3 3 abc . Dấu = xảy ra khi a = b = c. Nhận dạng: + Tìm nhỏ nhất của tổng khi biết tích. + Tìm lớn nhất của tích khi biết tổng, tổng bình phương. + Chứng minh tổng lớn hơn tích, tích chia tổng (tổng bình phương, . . .) + Dùng nhập các tổng, tổng nghịch đảo, . . . thành một. *Các BĐT cơ bản liên quan hay dùng : 1. a2 + b2  2ab. 2. a2 + b2 + c2  ab + ac + bc .Dấu = khi a = b = c. 1 3. a2 + b2 + c2  (a + b + c)2  ab + ac + bc . Dấu = xảy ra khi a = b = c. 3 1 1 1 1 4 4. Với a, b > 0. Ta có : (a + b)(  )  4 . Dấu = xảy ra khi a = b (hay :   ) a b a b a b 1 1 1 5. Với a, b, c > 0. Ta có : (a + b + c)(   )  9 . Dấu = xảy ra khi a = b = c ( hay: a b c 1 1 1 9    ). a b c a b  c 6. Ý nghĩa của các bất đẳng thức 4, 5 là cho phép ta nhập các phân số thành một do đó rất thuận lợi cho việc xét hàm với một ẩn. 6.1.2 Bất Đẳng Thức Bunhiacopxki BĐT Trị Tuyệt Đối : Trong chương trình thi Đại Học chúng ta chỉ được áp dụng BĐT Cô si cho 2 và 3 số không âm và bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 cặp số. a1 .b1  a2 .b2  (a12  a22 )( b12  b22 ) a1 a2 Dấu = xảy ra khi  (Nếu bỏ dấu thì cần thêm  0 nữa) b1 b 2 6.1.3 Bất đẳng thức véc tơ:       Cho các véc tơ: a, b khi đó ta có a  b  a  b ta có thể sử dụng cho không gian hai chiều   x 2  y 2  u 2  v 2  ( x  u ) 2  ( y  v) 2 khi chọn a =(x;y), b =(u;v) hoặc ba chiều   x 2  y 2  z 2  u 2  v 2  t 2  ( x  u ) 2  ( y  v) 2  ( z  t ) 2 khi chọn a =(x;y;z), b =(u;v;t) Dấu bằng xảy ra khi hai véc tơ cùng hướng. 6.1.4 Khảo sát hàm số: Hàm số y = f(x) trên đoạn [a;b] tìm nghiệm của y trên đoạn [a;b] tính giá trị của hàm số tại các nghiệm trên [a;b] và tại a và b, giá trị nào lớn nhất chính là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [a;b] và ngược lại Thông thường các bài này ta phải nhóm tất cả các biến số riêng ra sao cho các biến số đều có chung một công thức hoặc đánh giá các biến để đưa về xét hàm số của một biến TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng 1Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – trêng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò: 6 BÊT §¼NG THøC – GTLN - GTNN Khi tìm GTNN, GTLN HS thường mắc phải sai lầm phổ biến trong việc tìm giá trị của biến tại các điểm đạt max, min đó là : thực hiện liên tiếp nhiều bước đánh giá nhưng dấu = tại mỗi bước là không như nhau do đó không có dấu = để xảy ra đẳng thức cuối. Như vậy, khi thực hiện mỗi bước biến đổi ta thường tự đặt ra câu hỏi: + Khi thực hiện các bước biến đổi như vậy thì liệu dấu = có đạt được ở bước cuối cùng không ? + Đánh giá như thế nào để có thể đưa về vế còn lại được hay không ? Mặc dù bài toán có thể thực hiện liên tiếp nhiều bước biến đổi nhưng để dấu = đạt được thì ở mỗi bước dấu = cũng phải giống như dấu = ở đẳng thức cuối cùng. Vậy thì tại sao ta không dự đoán trước dấu = của BĐT (hoặc giá trị mà tại đó biểu thức đạt max, min) rồi từ đó mới định hướng phương pháp đánh giá. Để có hướng suy nghĩ đúng chúng ta thực hiện các bước phân tích sau: 1.Dự đoán dấu = của BĐT hay các điểm mà tại đó đạt GTLN, GTNN. 2.Từ dự đoán dấu =”, kết hợp với các BĐT quen thuộc dự đoán phép đánh giá. Mỗi phép đánh giá phải đảm bảo nguyên tắc dấu = xảy ra ở mỗi bước này phải giống như dấu = dự đoán ban đầu. 6.1.5 Tích của hai số trái dấu. Nếu x thuộc đoạn [a;b] thì ta có (x - a)(x - b)  0 6.2 Một số dạng bài tập: 6.2.1 CMR với mọi a,b,c ta có a2 + b2 + c2  ab + bc + ca LG: Ta có a2 + b2  2ab b2 + c2  2bc c2 + a2  ...