Bài giảng Đạo hàm và vi phân: Phần 2

Bài giảng Đạo hàm và vi phân: Phần 2 được biên soạn nhằm giúp cho các bạn hiểu rõ hơn về đạo hàm và vi phân hàm hợp; đạo hàm và vi phân hàm ẩn. Đây là bài giảng hữu ích đối với các bạn chuyên ngành Toán học và những ngành có liên quan.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Đạo hàm và vi phân: Phần 2ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Phần 2 Nội dung1. Đạo hàm và vi phân hàm hợp.2. Đạo hàm và vi phân hàm ẩn. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HỢPTrường hợp cơ bản: hợp của hàm 2 biến và hàm 2 biến Cho z = f(x, y) và x = x(u, v), y = y(u, v). Nếu z, x, y khả vi: zu = fx .xu + fy .y u , zv = fx .xv + fy .yv dz = zu du + zv dv dz = fx dx + fy dy = fx ( xu du + xv dv ) + fy ( y u du + y v dv )Trường hợp riêng 1Cho z = f(x) và x = x(u, v) (hợp của 1 biến và 2 biến) zu = f ( x ) xu , zv = f ( x ) xv dz = zu du + zv dv dz = f ( x )dx = f ( x )( xudu + xv dv )Trường hợp riêng 2: z = f(x, y), x = x(t), y = y(t) (hợp 2 biến và 1 biến) z (t ) = fx .x (t ) + fy .y (t ) dz = z (t )dt dz = fx dx + fy dy = fx .x (t )dt + fy .y (t )dtTrường hợp riêng 3:z = f(x, y), y = y(x) (hợp 2 biến và 1 biến) z ( x ) = fx + fy .y ( x ) dz = z ( x )dxLưuý:khitínhđạohàmhàmhợp,luônbắtđầutừđạohàmcủaftheobiếnchính.Sauđó,tùythuộcvàoyêucầu,nhânthêmđạohàmcủabiếnchínhvàocạnhđạohàmcủaf. VÍ DỤ xy 21/ Cho: z = f ( x , y ) = e , x = u , y = u + v tìm z’u, z’v , dz tại (u, v)= (1, 1).z’u = f’x. x’u + f’y.y’u z’v = f’x. x’v + f’y.y’v(u, v)= (1, 1) (x, y) = (1, 2) xyzu = ye .2u + xe xy .1 xy xyzv = ye .0 + xe .1 zu (1,1) = 2.e 2 .2 + 1.e 2 .1 = 5e 2 2 zv (1,1) = e 2 2dz (1,1) = zu (1,1)du + zv (1,1)dv = 5e du + e dv 2 u� � 2/ Cho:z = f ( x ) = sin( x + x ), x = arctan � � v� � Tính z’u, z’v tại (0, 1) z’u = f’(x). x’u z’v = f’(x). x’v x(0, 1) = 0 2 1 1zu = (1 + 2 x )cos( x + x ) 2 v u 1+ 2 zu (0,1) = 1 v 2 −u 1 zv (0,1) = 0zv = (1 + 2 x )cos( x + x ) 2 2 v u 1+ 2 v 3/ Cho: z = f ( x , y ) = sin( xy ), x = arctan ( t ) , y = et Tính dz(t) tại t = 0 Cách 1: dz = z’(t)dt, với z’(t) = f’x. x’(t) + f’y.y’(t), 1z (t ) = y cos( xy ) 2 + x cos( xy ) e t 1+ tt = 0 � x = 0, y = 1� dz (0) = dt z = f ( x , y ) = sin( xy ), x = arctan ( t ) , y = etCách 2: dz = fx dx + fy dy = fx .x (t )dt + fy .y (t )dt dz = y cos( xy )dx + x cos( xy )dy dt t = y cos( xy ) 2 + x cos( xy )e dt 1+ t� dz (0) = dt 2 ln( y + 1) 4/ Cho: z = f (x, y ) = . x2 a/ Tính z’x tại (1,0). b/ Nếu y = ex, tính z’(x) tại x = 1 2 z ln( y + 1) ln(1)a / zx = = f x = −2 3 � zx (1,0) = −2 =0 x x 1b/ z’(x) = f’x + f’y.y’(x) 2 ln( y + 1) 2y x = −2 3 + 2 2 e x ( y + 1) x 2 ln(y + 1) 2y xz ( x ) = −2 3 + 2 2 e x ( y + 1) xx =1� y = e 2 2 2e� z (0) = −2ln(e + 1) + 2 e +15/ Cho: z = f ( x − y , xy ), với f là hàm khả vi Tính z’x, z’y Đặt: u = x – y , v = xy z = f(u, v) (u, v là biến chính của f) zx = fu .u x + fv .v x = fu .1 + fv y zy = fu .uy + fv .v y = fu .(−1) + fv x �x �6/ Cho: z = xf � 2 � với f là hàm khả vi �y � Chứng minh đẳng thức: 2 xzx + yzy = 2z xĐặt : u= 2 z = x.f(u) yzx = f (u ) + x.[ f (u ) ] x 1 = f (u ) + x.f (u ).u x = f (u ) + x.f (u ). 2 y �x �zy = x.[ f (u ) ] y z = xf � 2 � �y � −2 x = xf (u ).uy = x.f (u ). 3 y � 1 � ...