Đại số 11: Chương 5 - Trần Sĩ Tùng

Tài liệu "Đại số 11: Chương 5 - Trần Sĩ Tùng" cung cấp kiến thức lý thuyết về đạo hàm và đưa ra các bài tập ví dụ theo hệ thống từng dạng cụ thể. Mời các bạn cùng tham khảo để củng cố kiến thức và ôn tập hiệu quả.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đại số 11: Chương 5 - Trần Sĩ TùngTrần Sĩ TùngĐại số 11CHƯƠNG V ĐẠO HÀM1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm · Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 Î (a; b): f ( x ) - f ( x0 ) Dy (Dx = x – x0, Dy = f(x0 + Dx) – f(x0)) = lim f ( x0 ) = lim D x ®0 D x x ® x0 x - x0 · Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó. 2. Ý nghĩa của đạo hàm · Ý nghĩa hình học: + f¢ (x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M ( x0 ; f ( x0 ) ) . + Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M ( x0 ; y0 ) là: y – y0 = f¢ (x0).(x – x0) · Ý nghĩa vật lí: + Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t) tại thời điểm t0 là v(t0) = s¢(t0). + Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm t0 là I(t0) = Q¢(t0). 3. Qui tắc tính đạo hàm ænÎ N ö ( x )¢ = 1 · (C)¢ = 0 (x)¢ = 1 (xn)¢ = n.xn–1 ç ÷ èn >1 ø 2 x æ u ö¢ u¢v - v¢u · (u ± v)¢ = u¢ ± v¢ (uv)¢ = u¢v + v¢u (v ¹ 0) ç ÷ = èvø v2 æ 1 ö¢ v¢ (ku)¢ = ku¢ ç ÷ =- 2 èvø v · Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm tại x là u¢x và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là y¢u thì hàm số hợp y = f(g(x) có đạo hàm tại x là: y¢ x = y¢u.u¢ x 4. Đạo hàm của hàm số lượng giác sin x sin u( x ) · lim = 1; lim = 1 (với lim u( x ) = 0 ) x ®0 x x® x0 u( x ) x® x0 ( tan x ) ¢ = 1 ( cot x ) ¢ = - 1 · (sinx)¢ = cosx (cosx)¢ = – sinx 2 cos x sin 2 x 5. Vi phân · dy = df ( x ) = f ¢( x ).D x · f ( x 0 + D x ) » f ( x 0 ) + f ¢( x 0 ).D x 6. Đạo hàm cấp cao ¢ · f ( x ) = [ f ( x )]¢ ; f ( x ) = [ f ( x )]¢ ; f ( n) ( x ) = é f (n -1) ( x ) ù (n Î N, n ³ 4) ë û · Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t0 là a(t0) = f¢¢(t0).Trang 71Đại số 11Trần Sĩ TùngVẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 bằng định nghĩa ta thực hiện các bước: B1: Giả sử Dx là số gia của đối số tại x0. Tính Dy = f(x0 + Dx) – f(x0). Dy B2: Tính lim . D x ®0 D x Baøi 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra: a) y = f ( x ) = 2 x 2 - x + 2 tại x0 = 1 c) y = f ( x ) = e) y = f ( x ) = 2x +1 tại x0 = 2 x -13b) y = f ( x ) = 3 - 2 x tại x0 = –3 d) y = f ( x ) = sin x f) y = f ( x ) = tại x0 =p 6x tại x0 = 1Baøi 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau: a) f ( x ) = x 2 - 3 x + 1 d) f ( x ) = 1 2x - 3 b) f ( x ) = x 3 - 2 x e) f ( x ) = sin xx2 + x +1 tại x0 = 0 x -1 c) f ( x ) = f) f ( x ) = x + 1, ( x > - 1) 1 cos xVẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm bằng công thức Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) bằng công thức ta sử dụng các qui tắc tính đạo hàm. Chú ý qui tắc tính đạo hàm của hàm số hợp. Baøi 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1 3 2 a) y = 2 x 4 - x 3 + 2 x - 5 - x + x x. b) y = 2 3 3 x d) y = ( x 2 - 1)( x 2 - 4)( x 2 - 9) g) y = 3 2x +1 e) y = ( x 2 + 3 x )(2 - x ) h) y = 2x +1 1 - 3xc) y = ( x 3 - 2)(1 - x 2 ) æ 1 ö f) y = ( x + 1) ç - 1÷ è x ø 1 - x + x2 2 x2 m) y = x2 - 2 x - 3 c) y = ( x 3 - 2 x 2 + 1)11 f) y= 1 ( x - 2 x + 5)23i) y =1 + x - x2x2 - 3x + 3 2 x2 - 4 x + 1 k) y = l) y = x -1 x -3 Baøi 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = ( x 2 + x + 1)4 d) y = ( x 2 - 2 x)5 g) y = ( x + 1)2 ( x - 1)3 b) y = (1 - 2 x 2 )5 e) y = ( 3 - 2 x 2 )42æ 2x +1 ö h) y = ç ÷ è x -1 ø b) y =33 ö æ i) y = ç 2 - 2 ÷ x ø è c) y =Baøi 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = 2 x 2 - 5 x + 2 d) y = ( x - 2) x 2 + 3 x3 - x + 2 x+ x3e) y = ( x - 2)3 Trang 72f) y = (1 + 1 - 2 x )Trần Sĩ Tùng g) y = x3 x -12Đại số 11 h) y = 4x +1 x2 + 2 i) y = 4 + x2 xBaøi 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau: æ sin x ö a) y = ç ÷ è 1 + cos x ø d) y = cot 2 x b) y = x .cos x e) y = sin 2 + x 2 c) y = sin3 (2 x + 1) f) y = sin x + 2 x i) y = 2sin 2 4 x - 3cos3 5 xg) y = (2 + sin 2 2 x )3h) y = sin ( cos2 x tan2 x )æ x +1 ö 2 1 k) y = cos2 ç l) y = tan 2 x + tan 3 2 x + tan 5 2 x ÷ ç x -1 ÷ 3 5 è ø Baøi 5: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: a) (sin n x.cos nx ) = n sin n-1 x.cos(n + 1) x c) (cos n x.sin nx ) = n.cosn -1 x .cos(n + 1) x b) (sin n x.sin nx ) = n.sin n-1 x .sin(n + 1) x d) (cos n x. cos nx ) = - n.cos n-1 x.sin(n + 1) xVẤN ĐỀ 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) (*) 1. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0, y0) Î (C ) là: y - y0 = f ( x0 )( x - x0 ) 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k: + Gọi x0 là hồnh độ của tiếp điểm. Ta có: f ¢( x 0 ) = k (ý nghĩa hình học của đạo hàm) + Giải phương trình trên tìm x0, rồi tìm y0 = f ( x 0 ). + Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức (*) 3. Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) đi qua điểm A(x1, y1) cho trước: + Gọi (x0 , y0) là tiếp điểm (với y0 = f(x0)). + Phương trình tiếp tuyến (d): y - y0 = f ( x0 )( x - x0 ) (d) qua A ( x1 , y1 ) Û y1 - y0 = f ( x0 ) ( x1 - x0 ) (1) + Giải phương trình (1) với ẩn là x0, rồi tìm y0 = f ( x0 ) ...