Bài giảng Giải tích 1 - Chương 5: Chuỗi số dương

Bài giảng "Giải tích 1 - Chương 5: Chuỗi số dương" cung cấp cho người đọc các kiến thức: Định nghĩa, các tiêu chuẩn xét sự hội tụ của chuỗi số dương. Cuối chương có các bài tập dành cho người đọc tự ôn tập lại kiến thức. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 1 - Chương 5: Chuỗi số dương II. CHUỖI SỐ DƯƠNG 1.Định nghĩa: Chuỗi số dương là chuỗi  un với u n  0,  n n 12. Các tiêu chuẩn xét sự hội tụ của chuỗi số dươnga) Tiêu chuẩn tích phân Cho hàm số f (x) liên tục, không âm và đơn điệu giảm trên[ k ,  ), k  N    Khi đó Chuỗi  n1 f (n) hội tụ   f ( x) dx hội tụ ka) Tiêu chuẩn tích phân: (tt) VD1: Xét chuỗi   1 n 1 n  Nếu 0 thì un   nên chuỗi phân kỳ.  Nếu 0 thì un 1 nên chuỗi phân kỳ.  Nếu  0 khi đó xét hàm 1 f ( x)   xVD 1(tt) Hàm này liên tục, không âm và đơn điệu giảm trên [1,)   hội tụ nếu  1 Mà 1 dx   x   phân kỳ nếu  1 1     hội tụ nếu  1 1  Vậy chuỗi  n1 n    phân kỳ nếu  1   1VD2: Xét chuỗi  n2 n ln n Xét hàm f (x)  1 x . ln x Hàm này liên tục, không âm và đơn điệu giảm trên [2,)    dx  d (ln x) Mà 2 2  lnln x |    x ln x ln x 2  Vậy tích phân dx  2 x ln x phân kỳ.  1 Theo tiêu chuẩn tích phân  n 2 n ln n phân kỳ.b) Tiêu chuẩn so sánh 1:   Cho hai chuỗi số dương  un và  vn n 1 n 1 thoả điều kiện N: 0< un  vn, n  NKhi đó:   Nếu chuỗi  vn hội tụ thì chuỗi  n 1 u n hội tụ n 1   Hoặc nếu chuỗi  n 1 u n phân kỳ thì chuỗi  v n phân kỳ. n 1b) Tiêu chuẩn so sánh 1: (tt)  n 2VD1: Cho chuỗi số  n n1 5  n n n Ta có: 2 2 0  n     5  n  5  n  2  2 Mà chuỗi    hội tụ ( q   1 ) n1  5  5  n 2 Nên theo tiêu chuẩn so sánh 1 chuỗi  n hội tụ n1 5  nb) Tiêu chuẩn so sánh 1: (tt)  ln nVD2: Cho chuỗi số  n2 n Ta có: un  ln n  1  0 ; n  3 n n  1 phân kỳ (VD1 trong phần tiêu chuẩn Mà chuỗi  n2 n 1 2 tích phân)  ln n phân kỳ. Nên theo tiêu chuẩn so sánh 1 chuỗi  n2 nc) Tiêu chuẩn so sánh 2:   Cho hai chuỗi số dương  n1 un ,  vn n 1 un Giả sử tồn tại lim k n vn    k = 0 nếu chuỗi vn hội tụ thì chuỗi  un hội tụ. n1 n1   k = + nếu chuỗi  un hội tụ thì chuỗi  vn hội tụ. n1   n 1  0 < k < + hai chuỗi  un và  vn n1 n1 cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt) ...