Bài giảng Giải tích 1: Giới hạn dãy số (Phần 2)

Bài giảng "Giải tích 1: Giới hạn dãy số (Phần 2)" cung cấp cho người học các kiến thức: Tính chất của vô cùng bé, so sánh bậc các vô cùng bé, các vcb tương đương cơ bản,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 1: Giới hạn dãy số (Phần 2)GiỚI HẠN HÀM SỐ (phần 2)Vô cùng bé – vô cùng lớn ĐỊNH NGHĨA• (x) là vô cùng bé khi x xo nếu giá trị của (x) rất bé khi x gần xo. � lim α ( x ) = 0 x x0• (x) là vô cùng lớn khi x xo nếu giá trị của | (x)| rất lớn khi x gần xo. � lim α ( x ) = +� x x0 Ví dụ1 / α > 0, lim x α = 0 x , > 0 là VCB khi x 0 x 02 / α > 0, lim x α = + x, > 0 là VCL khi x + x +3 / lim ln x = + x +4 / lim+ ln x = − lnx là VCB khi x 1 x 0 là VCL khi x + ,0 5 / lim ln x = 0 x 1 TÍNH CHẤT CỦA VÔ CÙNG BÉ1. Tổng, hiệu, tích các VCB là VCB.2. c 0, (x) là VCB c (x) là VCB. lim f ( x ) = a � f ( x ) = a + α ( x ), x x03. với (x) là VCB khi x xo. SO SÁNH BẬC CÁC VÔ CÙNG BÉ (x) và (x) là 2 VCB khi x xo, đặt α (x) K = lim x x0 β ( x )1. K=0, (x) là VCB bậc cao hơn (x), ký hiệu: (x) = o( (x)) .2. K 0, : (x) và (x) đồng bậc. K= 1: (x) và (x) tương đương: (x) ~ (x) SO SÁNH BẬC CÁC VÔ CÙNG BÉ (x) và (x) là 2 VCB khi x xo, nếu tồn tại n>0sao cho: α (x) K = lim 0, x x0 [ β ( x ) ] n (tức là (x) đồng bậc với [ (x)]n ) Thì (x) được gọi là VCB bậc n đối với (x) VÍ DỤ α ( x ) = 3 x 3 + 2x 4 là 2 VCB khi x 01/ β (x) = x α (x) 3 3 x + 2x 4 x 3 + 2 x 4 = =3 x 0 1 β (x) x x3 α (x) : β (x) α ( x ) = ln(cos x )2/ là 2 VCB khi x 0 β (x) = x α (x) ln(cos x ) ln(1 + cos x − 1) = = β (x) x x ln(1 + cos x − 1) cos x − 1 = 2 x cos x − 1 x x 0 1 (−1 / 2) 0 = 0 � α ( x ) = o ( β ( x )) (x) bậc cao hơn (x) α ( x ) = ln(cos x )3/ là 2 VCB khi x 0 β (x) = x α (x) ln(cos x ) 2 = [ β ( x )] x2 ln(1 + cos x − 1) cos x − 1 = cos x − 1 x2 x 0 1 (−1 / 2) = −1 / 2 (x) là VCB bậc 2 đối với (x). Các vcb tương đương cơ bản Khi x 0sin x : x ln(1 + x ) : x 2 x1 − cos x : x e −1 : x 2 xtan x : x a − 1 : x ln aarcsin x : x α (1 + x ) − 1 : α xarctan x : x Ví dụsin 2 x : 2 x , khi x 0 2 1 41 − cos x : x , khi x 0 2tan(ln(1 + x )) : ln(1 + x ) : x , khi x 0ln x : x − 1, khi x 1 �1� 1arctan � �: , khi x �x � x Nguyên tắc thay tương đương VCB 1. Chỉ được thay tương đương qua tích các VCB α ( x ) : α1 ( x ), β ( x ) : β1 ( x ) khi x x0 α ( x ) β ( x ) : α1 ( x ) β1 ( x )VD: khi x 0 1 / (e x − 1) sin x : x x = x 2 , 2/ ( 3 5 ) x 1 − 2 x − 1 (e − 1) tan x 3 16 1 2 3 : (−2 x 5 ) x 3 x = − x 3 3 Nguyên tắc thay tương đương VCB2. Nguyên tắc ngắt bỏ VCB bậc cao: tổng các VCB khác cấp tương đương với VCB bậc thấp nhất α1 ( x ) + α 2 ( x ) + L + α n ( x ) : α i ( x ) với i là VCB bậc thấp nhấtVD: khi x 0 2 3 x − 2 x + 3x : 3x 3 sin x − 2 x 2 : −2x 2 Nguyên tắc thay tương đương VCB 3. (x) ~ 1 (x), khi x xo, lim f ( x ) = a 0 x x0 f (x) α (x) : a α ( x ) : a α1 ( x )VD: khi x 0 1 / ( x + 1) ln( x + 1) : 1 ln( x + 1) : x 2/e 2x x2 −e = e x2 (e 2 x −x2 −1 ) 0 : e e ( 2 x−x2 ...