Bài giảng Giải tích 1: Giới hạn dãy số (tt)

Bài giảng "Giải tích 1: Giới hạn dãy số (tt)" cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm giới hạn hàm số, định nghĩa giới hạn hàm số, giới hạn cho hàm mũ, phương pháp chứng minh hàm không có giới hạn,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 1: Giới hạn dãy số (tt) GiỚI HẠN HÀM SỐhttp://e-learning.hcmut.edu.vn/ Khái niệm giới hạn hàm sốHàm số y = f(x) xác định trong lân cận x0( có thểkhông xác định tại x0). Nếu giá trị của f(x) rất gần vớia khi x đủ gần x0 thì a gọi là giới hạn của f tại x0.Xem 2 VD số sau đây: x f(x) sin x 0.1 0.8415  1 / f (x) = , khi x 0 0.1 0.958  x    0.1 0.9816    f(x) không xác định tại 0, 0.1 0.986    nhưng khi x 0 thì f(x) 1 0.1 0.935   sin xĐồ thị của hàm số f ( x ) = , xkhông bị đứt tại x 0 Lúc này coi như f(0) 1 (giới hạn của f tại x = 0 là 1) π x f(x) 2 / f ( x ) = sin , khi x 0 x � 1 0�f(x) không xác định tại 0, � 0.5 0� � �nhưng khi x 0 thì f(x) 0 � 0.1 0� �0.0001 0 �SAI vì � � 0.000001 0 � � 2 π π x= � = + 2kπ , k �Z f(x) = 1 4k + 1 x 2Có vô số giá trị x gần 0 mà f(x) = 0, hoặc f(x)=1 ĐỊNH NGHĨA GiỚI HẠN HÀM SỐ lim f ( x ) = a (hữu hạn) x x0 � ∀ε > 0, ∃δ > 0 : x − x0 < δ � f ( x ) − a < ε ( x ι D & x x0 )f(x) Hạn chế của đn: a Phải chia nhiều trường hợp tùy thuộc vào giá trị của xo và a là vô hạn hay hữu hạn x X0 ĐỊNH NGHĨA GiỚI HẠN HÀM SỐ QUA DÃYlim f ( x ) = a �∀̹ { xn } D & xn x0 ,x x0 nếu lim xn = x0 thì lim f ( xn ) = a n nTiện ích của đn:1. Áp dụng chung cho cả trường hợp a hay xo là .2. Các tính chất và phép toán của giới hạn dãy vẫn còn đúng cho giới hạn hàm số.3. Dễ dàng trong việc chứng minh hàm số không có giới hạn. VÍ DỤ ÁP DỤNGChứng minh: xlimx [ f ( x ) + g ( x ) ] = xlimx f ( x ) + xlimx g ( x ) 0 0 0 Giả sử: lim f ( x ) = a và lim g ( x ) = b ( ), x x0 x x0 Lấy dãy {xn} tùy ý (nằm trong Df và Dg) sao cho: lim xn = x0 n Từ ( ), theo đn: lim f ( xn ) = a & lim g ( xn ) = b n n lim [ f ( xn ) + g ( xn ) ] = a + b n Vậy: lim [ f ( x ) + g ( x ) ] = lim f ( x ) + lim g ( x ) x x0 x x0 x x0 Giới hạn cho hàm mũ Xét hàm số có dạng: f ( x ) = [ u ( x ) ] v (x) lim u ( x ) = a > 0 x x0 � lim f ( x ) = a b x x0 lim v ( x ) = b x x0Chứng minh: v (x) lim [ u ( x ) ] = lim ev ( x ) ln u ( x )x x0 = eb ln a = ab x x0 Phương pháp chứng minh hàm không có giới hạn Chọn 2 dãy {xn} và lim xn = lim xn = x0 n n {x’n} sao cho: lim f ( xn ) lim f ( xn ) n n 1Ví dụ: 1. Chứng minh f ( x ) = không có gh khi x 0 x 1 n n Chọn xn = 0, f ( xn ) = n + n 1 n xn = − 0, f ( xn ) = −n n n lim f ( xn ) lim f ( xn ) n n2. Chứng minh: f ( x ) = sin x Không có gh khi x + (xo = + ) n xn = nπ + Chọn π n xn = + 2nπ + 2 n f ( xn ) = sin(nπ ) = 0 0 π f ( xn ) = sin � + 2nπ � � n �= 1 1 �2 � lim f ( xn ) lim f ( xn ) n n GiỚI HẠN MỘT PHÍA•Giới hạn trái lim− f ( x ) = a � ∀{ xn } �D & xn < x0 ,tại xo: x x0 nếu lim xn = x0 thì lim f ( xn ) = a •Giới hạn phải tại xo: lim+ f ( x ) = a x x0 (Xét xn>xo và xn xo ) ...