Bài giảng môn Giải tích 1 - Chương 3: Đạo hàm và vi phân (p4)

Bài giảng môn "Giải tích 1 - Chương 3: Đạo hàm và vi phân" cung cấp cho người học các kiến thức về khảo sát hàm y=f(x), đồ thị của hàm y=f(x). Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên khối tự nhiên và những ai quan tâm dùng làm tài liệu tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng môn Giải tích 1 - Chương 3: Đạo hàm và vi phân (p4) Khảo sát hàm y=f(x)Các bước khảo sát và dựng đồ thị hàm y=f(x)1. Tìm MXĐ, tính chẵn, lẻ, chu kỳ tuần hoàn (nếu có)2. Tìm tiệm cận3. Tìm cực trị, khoảng tăng giảm, tiệm cận đặc biệt4. Tìm khỏang lồi, lõm và điểm uốn (nếu cần)5. Lập bảng biến thiên6. Dựng đồ thị Khảo sát hàm y=f(x)1. Tìm MXĐ, hàm chẵn lẻ, tính tuần hoànHàm chẵn nếu f(x) = f(-x), khi đó đồ thị hàm nhậntrục Oy là trục đối xứngHàm lẻ nếu f(x) = -f(-x), khi đó đồ thị nhận gốc tọađộ O là tâm đối xứngHàm tuần hoàn nếu tồn tại hằng số T sao chof(x) = f(x+T). Hằng số T>0 được gọi là chu kỳ tuầnhoàn của hàm f(x) nếu T là số dương nhỏ nhất thỏaf(x)=f(x+T) và khi đó ta chỉ phải khảo sát hàm trong1 chu kỳ Khảo sát hàm y=f(x)2. Tìm tiệm cậnVới x0 là điểm không thuộc MXĐ của hàm,nếu: lim f ( x) = thì hàm có TCĐ x = x0 x x0Nếu lim f ( x) = y0 Thì hàm có TCN y = y0 x lim f ( x) = xNếu f ( x) Thì hàm có TCX y = ax+b lim =a x x lim [ f ( x) − ax ] = b x Khảo sát hàm y=f(x) 2xVí dụ: Tìm tiệm cận của hàm y= 2 x − 5x + 6MXĐ : R{2, 3} 2xlim f ( x) = lim 2 = Hàm có TCĐ: x = 2x 2 x 2 x − 5x + 6 2xlim f ( x) = lim 2 = Hàm có TCĐ: x = 3x 3 x 2 x − 5x + 6 2xlim f ( x) = lim 2 = 0 Hàm có TCN: y = 0x x x − 5x + 6 2x y= 5 x − 5x + 6 x=3x=2 y=0 Khảo sát hàm y=f(x) 2 Ví dụ: Tìm tiệm cận của hàm y = xe x +1 MXĐ: R{0} 2 2 2 2 − 2 ex ex lim+ y = lim+ xe x + 1 = 1 + lim+ = 1 + lim+ x x 0 x 0 x 0 1 x 0 1 − 2 2 x x = 1 + lim+ 2e x = Hàm có TCĐ x = 0 x 0 2lim− y = lim− xe x + 1 = 1 Hàm không có TCx 0 x 0 2lim y = lim xe x +1 =x x Khảo sát hàm y=f(x) 2lim y = lim xe x +1 =x x 2 � 2 � y xe x +1 1lim = lim = lim � e x + �= 1x x x x x � x� � � 2 �2 �lim ( y − x) = lim ( xe x+ 1 − x) = 1 + lim x � e x − 1�x x x � � 2 � � = 1 + lim x. = 3 Hàm có TCX y = x+3 x xVậy hàm đã cho có 1 TCĐ x = 0 và 1 TCX y = x+3 + 3 xy= 2 y = xe x +1 Khảo sát hàm y=f(x)3. Tìm khỏang tăng giảm, cực trị :Tính đạo hàm cấp 1 và giải phương trình y’ = 0Nếu y’>0 trong (a,b) thì hàm tăng trong (a,b)Nếu y’ Khảo sát hàm y=f(x) Ví dụ: Tìm cực trị của hàm y=|x|(x+2) 2 x + 2, x > 0 x( x + 2), x 0y= � y = −2 x − 2, x < 0 y = 0 � x = −1 − x( x + 2), x < 0 ∃, x = 0Như vậy, ta có 2 điểm nghi ngờ hàm đạt cực trị là x= 0 và x = -1Để xác định cực trị, khỏang tăng giảm, ta lập 1bảng biến thiên x − Vậy hàm có 2 cực -1 0 + trị : ycđ=y(- y’ + - 0 + 1)=1, yct=y(0)=0 y 1 0y = x ( x + 2) Khảo sát hàm y=f(x)4. Tìm khỏang lồi lõm, điểm uốnTính đạo hàm cấp 2 và giải phương trình y” = 0Nếu y”>0 trong (a,b) thì hàm lõm trong (a,b)Nếu y” Khảo sát hàm y=f(x)Ví dụ: Tìm khỏang lồi lõm và điểm uốn của hàm y=x2lnx y = 2 x ln x + x, y = 2ln x + 3 1 y =0� x= e3 Ta cũng lập bảng biến thiên để khảo sát x 0 1 / e3 + y” - 0 + y 1Vậy hàm lồi trong khỏang (0, ) , lõm trong khỏang 3 1 e 1 −3( , + ) Và có điểm uốn là ( , ) e3 ...