Bài giảng phương pháp tính cho sinh viên IT - 6

7.7. Nội suy tổng quát (Nội suy Hecmit)Xây dựng hàm nội suy của f(x) thoả mãn giá trị hàm và giá trị đạo hàm các cấp theo bảng giá trị sau:xi yi =f(xi) yi=f’(xi) yi’= f’’(xi) ... yi(k) =f(k)(xi)x0 y0 y0 y0 … y1(k)x1 y1 y1 y’’1 … y2(k)... ... ... ...xn yn yn y’’n … yn(k)Giả sử hàm nội suy cần tìm là đa thức bậc m: Hm(x) m=n+∑ sii =1k(Si : số giả thiết được cho ở đạo hàm cấp i )Hm(x) = Ln(x) + W(x) Hp(x) ( Vì Hm(xi) = Ln(xi) + W(xi) Hp(xi) = yi )...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng phương pháp tính cho sinh viên IT - 67.7. Nội suy tổng quát (Nội suy Hecmit) Xây dựng hàm nội suy của f(x) thoả mãn giá trị hàm và giá trị đạo hàm các cấp theo bảng giá trị sau: xi x0 x1 ... xn yi =f(xi) y0 y1 ... yn yi=f’(xi) y0 y1 ... yn yi’= f’’(xi) y0 y’’1 ... y’’n ... … … … yi(k) =f(k)(xi) y1(k) y2(k) yn(k) Giả sử hàm nội suy cần tìm là đa thức bậc m: Hm(x) k ∑ si m=n+ (Si : số giả thiết được cho ở đạo hàm cấp i ) i =1 Hm(x) = Ln(x) + W(x) Hp(x) ( Vì Hm(xi) = Ln(xi) + W(xi) Hp(xi) = yi ) Với: W(x) = (x-x0) * (x-x1)*....*(x-xn) p= m - (n + 1) Đạo hàm cấp 1: H’m(x) = Ln’(x) + W(x) H’p(x) + W’(x)Hp(x) Xét tại các điểm xi: Hm(xi) = Ln’(xi) + 2W(xi) H’p(xi) + W’(xi)Hp(xi) = yi 0 => Hp(xi) Đạo hàm cấp 2: H”m(x) = Ln’’(x) + 2W’(x) H’p(x) + W’’(x) Hp(x) + W(x)Hp”(x) 51Xét tại các điểm xi: H”m(xi) = Ln’’(xi) + 2W’(xi) H’p(xi) + W’’(xi) Hp(xi) + W(xi)Hp”(xi) =yi’’ 0 => Hp’(xi)Tương tự: Đạo hàm đến cấp k suy ra Hp(k-1)(xi)Ta xác định hàm Hp(x) thoả mãn: xi x0 x1 ... xn Hp(xi) h0 h1 ... hn Hp’(xi) h0 h1 ... hn ... Hp(k-1)(xi) h0(k-1) h1(k-1) hn(k-1) ...Về bản chất, bài toán tìm hàm Hp(x) hoàn toàn giống bài toán tìm hàmHm(x). Tuy nhiên ở đây bậc của nó giảm đi (n+1) và giả thiết về đạo hàmgiảm đi một cấp.Tiếp tục giải tương tự như trên, cuối cùng đưa về bài toán tìm hàm nộI suyLagrange (không còn đạo hàm). Sau đó thay ngược kết quả ta được hàm nộisuy Hecmit cần tìm Hm(x).Ví dụ 6. Tìm hàm nội suy của hàm f(x) thoả mãn: xi 0 1 3 f(xi) 4 2 0 f’(xi) 5 -3 Giải: Hàm nội suy cần tìm là đa thức H4(x) H4(x) = L2(x) + W(x) H1(x) 52 W(x) = x(x-1)(x-3) =x3 – 4x2 +3x 4 ( x − 1)( x − 3) x ( x − 3) L 2 (x ) = +2 −2 3 1 = ( x 2 − 7x + 12) 3 2 7 x − + ( 3 x 2 − 8 x + 3 ) H 1 ( x ) + W(x)H H 4 ( x ) = (x ) 1 3 3 7 22 H 4 ( 0 ) = − x + 3 H 1 ( 0 ) = 5 => H 1 ( 0 ) = 3 9 5 2 H 4 (1 ) = − x − 2 H 1 (1 ) = - 3 => H 1 (1 ) = 3 3 Tìm hàm H1(x) thoả mãn: xi 0 1 H1(xi) 22/9 2/3 22 ( x − 1) 2 ( x − 1) − 16 x + 22 + = H1(x) = 9 (0 − 1) 3 (1 − 0) 9 Vậy H4(x) =(x2 –7x +12)/3 + x(x-1)(x-3)(-16x +22)/97.8. Phương pháp bình phương bé nhất Giả sử có 2 đại lượng (vật lý, hoá học, …) x và y có liên hệ phụ thuộc nhau theo một trong các dạng đã biết sau: - y = fax + b - y = a + bx + cx2 Tuyến tính - y = a + bcosx + csinx - y = aebx Phi tuyến tính - y = axb 53 nhưng chưa xác định được giá trị của các tham số a, b, c. Để xác định được các tham số này, ta tìm cách tính một số cặp giá trị tương ứng (xi, yi), i=1, 2, …,n bằng thực nghiệm, sau đó áp dụng phương pháp bình phương bé nhất.* Trường hợp: y = ax + b Gọi εi sai số tại các điểm xi εi = yi - a - bxi n ∑ ε i2 Khi đó tổng bình phương các sai số: S = i =1 Mục đích của phươ ...