Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng: Phần 2 - Dư Đức Thắng

Tiếp nội dung phần 1, Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng: Phần 2 được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Bài toán dây rung; Bài toán truyền nhiệt 1 chiều; Phương trình parabolic. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng: Phần 2 - Dư Đức Thắng Chương 3 Bài toán dây rung 3.1. Mở đầu Trong chương này, để làm quen với phương trình hyperbolic, chúng ta sẽ xét các mô hình truyền sóng trong thực tiễn. 'Sóng' ở đây được hiểu là hiện tượng lan truyền dao động trong không gian. Ví dụ về sự lan truyền dao động là hiện tượng dây đàn rung (1 chiều), hiện tượng lan toả của sóng nước trên mặt hồ (2 chiều) và hiện tượng lan truyền sóng âm (3 chiều). Chúng ta quan tâm tới việc thiết lập các bài toán mô tả các hiện tượng dao động kể trên, từ đó có những nhận xét về nghiệm tương ứng. Trong khuôn khổ môn học, chúng ta sẽ hạn chế làm việc với mô hình truyền sóng 1 chiều(1) . Bài toán đặt ra sẽ là tìm một hàm u(x, t) biểu diễn hiện tượng biến dạng của dây rung ở mỗi vị trí x ∈ (0, l) trong mỗi thời điểm t ≥ 0, ở đây l là chiều dài của dây. Với sự tham gia của các điều kiện cho trước, ta sẽ thiết lập các bài toán tương ứng và từ đó đưa ra các công thức nghiệm thích hợp. Chúng ta sẽ bắt đầu với việc thiết lập bài toán ứng với phương trình hyperbolic chuẩn tắc, thuần nhất. Sau khi xét bài toán Cauchy, ứng với dữ kiện cho trước về thời gian, ta sẽ xét bài toán hỗn hợp, trong đó có các dữ kiện cho trước về không gian và thời gian. Tiếp theo, ta sẽ xét bài toán ứng với phương trình hyperbolic dạng tổng quát hơn và có số chiều cao hơn. Kết thúc chương này là một số ví dụ và bài tập thực hành. 3.2. Đặt bài toán Xét phương trình hyperbolic thuần nhất u = utt − a2 uxx = 0, u = u(x, t), (x, t) ∈ [0, l] × (0, +∞), hoặc phương trình truyền sóng không thuần nhất u = utt − a2 uxx = f (x, t), u = u(x, t), (x, t) ∈ [0, l] × (0, +∞), (3.2.1) cùng với các điều kiện ban đầu (dữ kiện Cauchy cho theo thời gian) hoặc các điều kiện ở hai đầu mút của dây (dữ kiện cho theo không gian). Tương ứng với các điều kiện nói trên là các bài toán Cauchy và bài toán hỗ hợp. Đầu tiên, ta xét bài toán Cauchy tương ứng của (1) 1-D wave equation models. Chương 3: Phương trình hyperbolic 52 phương trình truyền sóng (3.2.1) sau utt = a2 uxx + f (x, t), (x, t) ∈ [0, l] × (0, +∞), (3.2.2) u(x, t0 ) = g(x), x ∈ [0, l], (3.2.3) ut (x, t0 ) = h(x), x ∈ [0, l]. (3.2.4) Chú ý rằng đoạn [0, l] có thể được thay bằng cả trục thực R. Từ Chương 1, ta đã nêu ra cách thiết lập để dẫn đến phương trình truyền sóng trên dây căng thẳng. Trong các mục tiếp theo đây, ta đi chứng minh rằng tính đặt chỉnh của bài toán Cauchy, tức là chứng minh các định lí về sự tồn tại của nghiệm, về tính duy nhất của nghiệm, và chứng minh định lí về sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào các dữ kiện Cauchy. Điều này phù hợp với thực tiễn vật lý của hiện tượng truyền sóng trên dây. Định lý 3.2.1 (Tính duy nhất của nghiệm). Tồn tại không nhiều hơn một nghiệm u ∈ C 2 (Ω) của bài toán Cauchy (3.2.1), (3.2.2), (3.2.3). Nhận xét 3.2.1. Một số giả thiết cho bài toán: - Nghiệm được hiểu theo nghĩa cổ điển, tức là ẩn hàm u(x.t) là hàm khả vi liên tục cấp hai theo x và t. - Bằng cách co giãn hệ toạ độ, đặt t = at, ta có thể giả sử hệ số a = 1. - Bằng cách tịnh tiến hệ toạ độ, ta có thể coi t0 = 0. - Để chứng minh Định lý, ta chứng minh rằng hiệu của hai nghiệm bất kỳ của bài toán đồng nhất bằng 0. Giả sử u1 và u2 là hai nghiệm của bài toán trên, khi đó hiệu v(x, t) = u1 (x, t) − u2 (x, t) thoả mãn bài toán vtt = vxx , (x, t) ∈ [0, l] × (0, +∞), (3.2.5) v(0, x) = 0, x ∈ [0, l], (3.2.6) vt (0, x) = 0, x ∈ [0, l]. (3.2.7) Khi đó nghiệm u(x, t) của bài toán trên sẽ đồng nhất bằng không. Chứng minh. Giả sử u(x, t) là nghiệm của bài toán Cauchy ở trên, sao cho u khả vi liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp hai trong Ω. Xét tam giác K có đáy là đường t = t0 = 0, các cạnh bên là các đường đặc trưng của phương trình hyperbolic, có phương trình x + t = C1 và x − t = C2 . Khi đó ut (utt − uxx ) = 0, 53 Chương 3: Phương trình hyperbolic suy ra I= ut (utt − uxx ) dxdt = 0, K Lại có 1 ut · utt = ∂t (u2 ), t 2 1 ut · uxx = ∂x (ut · ux ) − ∂t (u2 ). x 2 Từ đó suy ra 1 I=− ∂t (u2 + u2 ) − ∂x (2ux ut ) dxdt = 0. x t 2 K Theo công thức Green, tích phân này sẽ được viết thành 1 2ut ux dt + (u2 + u2 )dx = 0. x t 2 ∂K Từ công thức của đường đặc trưng ta suy ra hệ thức ut = ±ux Khi đó, dọc theo các đường đặc trưng l,(2) ta có, chẳng hạn ∂u ∂u = ut + ux = 0, = ut − ux = 0, ∂m ...