Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 4: Ánh xạ tuyến tính

Bài giảng "Toán cao cấp 1 - Chương 4: Ánh xạ tuyến tính" giới thiệu tới người đọc các kiến thức: Khái niệm ánh xạ tuyến tính tổng quát, ma trận của ánh xạ tuyến tính tổng quát. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 4: Ánh xạ tuyến tính Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính1.1.Kháiniệmánhxạtuyếntínhtổngquáta)ĐịnhnghĩaCho X ,Y là2kgvttrên ¡ .ÁnhxạT : X  Y được gọilà ánhxạtuyếntính(haytoántửtuyếntính)nếu thỏamãn2điềukiệnsau: 1)T ( x )   T (x ),  x  X ,    ¡ ; 2)T (x  y )  T (x )  T (y ),  x , y  X . Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính  Chúý•Đốivớiánhxạtuyếntính(viếttắtlàAXTT),kýhiệuT (x )cònđượcviếtlàT x .•Haiđiềukiệncủađịnhnghĩatươngđươngvới: T (x   y )  T x   T y ,  x , y  X ,    ¡ .•T ( X )  Y .Trongđó  X , Y lầnlượtlàvectorkhôngcủa X vàY . Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 3 2VD1.ChoánhxạT : ¡  ¡ đượcđịnhnghĩa: T (x 1; x 2; x 3)  (x 1  x 2  x 3; 2x 1  3x 2). 3Trong ¡ ,xétx  (x 1; x 2; x 3), y  (y 1; y 2; y 3).Với   ¡ tùyý,tacó:T (x   y )  T (x 1   y 1; x 2   y 2; x 3   y 3)  (x 1   y 1  x 2   y 2  x 3   y 3; 2x 1  2 y 1  3x 2  3 y 2)  (x 1  x 2  x 3; 2x 1  3x 2)   (y 1  y 2  y 3; 2y 1  3y 2)  T x   T y . 3 2VậyánhxạT làánhxạtuyếntínhtừ ¡ vào ¡ . Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 2 2VD2.Choánhxạ f : ¡  ¡ xácđịnhnhưsau: f (x ; y )  (x  y ; 2  3y ).Xétu  (1; 2), v  (0; 1)tacó:  f (u  v )  f (1; 1)  (1 1; 2  3.1)  (0; 5)   f (u )  f (v )  ( 1; 8)  (1; 1)  (0; 7) f (u  v )  f (u )  f (v ). 2 2Vậyánhxạ f khôngphảilàAXTTtừ ¡ vào ¡ . Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tínhVD3.CácAXTTthườnggặptrongmặtphẳng:•PhépchiếuvuônggócxuốngtrụcOx ,Oy : T (x ; y )  (x ; 0),T (x ; y )  (0; y ).•PhépđốixứngquatrụcOx ,Oy : T (x ; y )  (x ; y ),T (x ; y )  ( x ; y ).•Phépquay1góc quanhgốctọađộO : T (x ; y )  (x cos  y sin  ; x sin   y cos ). y M a sin j + b cosj • b •M j a cosj - b sin j O a x Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tínhVD4.GọiC [a ; b ]làtậphợpcáchàmmộtbiếnsốliên tụctrên [a; b ].TrênC [a ; b ],xácđịnhphéptoáncộng haihàmsốvànhânvôhướngthìC [a ; b ]là1kgvt.Cácphéplấytíchphânsaulàánhxạtuyếntính: a T : C [a ; b ]  C [a ; b ], T f   f (x )dx ; a x S : C [a; b ]  C [a ; b ], Sf   f (t )dt , x  [a ; b ]. aVD5.Cho A  M m ,n (¡ ),tacó: n TA : ¡  ¡ m , T A x  A x làánhxạtuyếntính. Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tínhb)Nhânvàảnhcủaánhxạtuyếntính  ĐịnhnghĩaChoánhxạtuyếntínhT : X  Y .•Tập{x  X : T x  Y }đượcgọilànhâncủaT .KýhiệulàKerT .VậyKerT  {x  X : T x  Y }.•TậpT (X )  {T x : x  X }đượcgọilàảnhcủaT .KýhiệulàR angeT hoặc ImT .Vậy ImT  {T x : x  X }. Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính  TínhchấtChoánhxạtuyếntínhT : X  Y ,khiđó:•KerT làkhônggianconcủa X ;•ImT làkhônggianconcủaY ;•NếuS làtậpsinhcủa X thìT (S )làtậpsinhcủaImT ;•T làđơnánhkhivàchỉkhiKerT  { X }.  ĐịnhlýChoánhxạtuyếntínhT : X  Y ,khiđó: dim(KerT )  dim(ImT )  dimX . Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính Ø Chúý n m•Từđâyvềsau,tachỉxétloạiAXTT f : ¡  ¡ .• Khi n  m , ta gọi f : ¡ n  ¡ n là phép biến đổi tuyếntính(viếttắtlàPBĐTT). Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính1.2.Matrậncủaánhxạtuyếntínha)Địnhnghĩa n mChoánhxạtuyếntính f : ¡  ¡ vàhaicơsởcủa ¡ n , ¡ m lầnlượtlà: B 1 ...