Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 5 - TS. Trịnh Thị Hường

Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 5 cung cấp cho người học những kiến thức như: giới hạn hàm một biến; vô cùng bé và vô cùng lớn; sự liên tục của hàm một biến số;...Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 5 - TS. Trịnh Thị HườngHỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 1 CHƯƠNG 5GiỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM 1 BiẾN Giảng viên: T.S TRỊNH THỊ HƯỜNG Bộ môn : Toán Email: trinhthihuong@tmu.edu.vn X0 hữu hạn, L hữu hạn X0 hữu hạn, L vô hạnlim f ( x) = Lx → x0 X0 vô hạn, L hữu hạn X0 vô hạn, L vô hạnI. Giới hạn hàm một biến1.1. Định nghĩaCho hàm số ?(?) xác định tại một lân cận của ?0 ,(hàm số ?(?) có thể không xác định tại ?0 ). Ta nóihàm số ?(?) dần tới số thực L nếu ∀? > 0, ∃? > 0: 0 < ? − ?0 < ? ?ℎì ? ? − ? < ? Kí hiệu: lim?→? 0 ? ? = ?. 1.2. Giới hạn 1 phía Giới hạn trái tại ?0 : ? ?0− = lim− ? ? = ?→? lim ? ? ?→? 0 0 ?? 0Đ ịnh l ý: Điều kiện cần và đủ để hàm số ?(?) cógiới hạn khi ? → ?0 là nó có giới hạn phải và giớihạn trái tại ?0 và hai giới hạn đó bằng nhau. lim− ? ? = lim+ ? ? = lim ? ? ?→? 0 ?→? 0 ?→? 0Ví dụ: Xét hàm f(x)=|x| lim− f ( x) = 0 x →0 lim+ f ( x) = 0 x →0 lim f ( x) = 0 x →0Ví dụ: Xét hàm f(x)=|x|/x lim− f ( x) = −1 x →0 lim+ f ( x) = 1 x →0 không tồn tại lim f ( x) x→0Ví dụ: Tính các giới hạn một phía sau: lim arctan ? = ; lim arctan ? = ?→−∞ ?→+∞ lim arccot ? = ; lim arccot ? = ?→−∞ ?→+∞Khi a > 1 ? ? lim ? = ; lim ? = ?→−∞ ?→+∞ lim ? ? = ; lim ? ? = ?→−∞ ?→+∞Khi 0 < a 1.3. Tính chất, phép tính của giớihạn1.3.1. Tính chất Giới hạn của hàm số trong 1 quá trình nếu tồn tại là duy nhất (nếu có ít nhất hai quá trình riêng mà hàm số dần tới 2 giá trị khác nhau thì không tồn tại giới hạn).1.3.2. Phép tính giới hạn Định lý 1: Cho lim ? ? = ?1 , ??? ? ? = ?2 (?1 , ?2 ?à ℎữ? ℎạ?) Khi đó a. lim ? ? + ? ? = ?1 + ?2 b. lim ? ? .? ? = ?1 . ?2 ? ? ?1 c. lim = (?2 ≠ 0) ? ? ?2Định lý 2: Xét hàm số ? = ?(?(?)).Nếu lim ?(?) = ?0 ?→? 0 lim ?(?) = ? ?→? 0 ⇒ lim ? ? ? =? ?→? 0 Hệ quả: Nếu ?(?) là hàm sơ cấp xác định tại ?0 và lân cận của ?0 . Khi đó lim ?(?) = ?(?0 ) ?→? 0 1.4. Hai giới hạn quan trọng ??? ?1.4.1. ????→? =? ? Hệ quả: tan ? a. lim?→0 =1 ? arcsin ? b. lim?→0 =1 ? arctan ? c. lim?→0 =1 ? Ví dụ: Tính giới hạn sau: arctan 3? . sin 2? lim ?→0 1 − cos ? ? ?1.4.?. ????→∞ ? + = ?. ? Hệ quả: 1 a. lim?→0 1 + ? ? =? ln 1+? b. lim?→0 =1 ? ? ? −1 c. lim?→0 =1 ? Ví dụ: Tính giới hạn ? 2 lim 1 − ?→∞ ? II. Vô cùng bé và vô cùng lớn 2.1. Định nghĩa • Nói hàm ?(?) là VCB khi ? → ?0 nếu limx→x 0 ?(?) = 0. • Nói hàm ?(?) là VCL khi ? → ?0 nếu limx→x 0 |? ? | = +∞.Ví dụ: Khi ? → 0 có các VCB sau: x, sin x, arctan3 ?,… Khi ? → ∞, có các VCL: 2? , ? 2 + 3? , … 2. 2.Tính chất của VCB, VCL• lim?→? 0 ?(?) = ? ⇔ ? ? − ? là VCB khi ? → ?0 .• Nghịch đảo của 1 VCL là 1 VCB, nghịch đảo 1 VCB khác 0 là 1 VCL.• Tổng hữu hạn các VCB khi ? → ?0 cũng là VCB. ? ? ?à ??? ?ℎ? ? → ?0 ? ? ?à ??? ?ℎ? ? → ?0 ⇒ ? ? + ? ? ?à ??? ?ℎ? ? → ?0• Nếu ?(?) là VCB trong quá trình ? → ?0 và ?(?) là hàm bị chặn khi ? → ?0 thì ? ? ?(?) là VCB khi ? → ?0 . Ví dụ: Tính giới hạn 1 lim ? sin ⁡ x→0 ? 1? sin là VCB khi ? → 0 vì ?x là VCB khi ? → 0 1và sin ≤ 1, ∀? ≠ 0 nên nó là hàm bị chặn. ? 2.3. So sánh các VCBCho ? ? , ?(?)là các VCB khi ? → ?0 ? ?• Nếu limx→x 0 = 0 thì nói ?(?) là VCB bậc cao ? ? hơn so với ?(?) (hay ?(?) bậc thấp hơn ?(?)) ? ?• Nếu limx→x 0 = ∞ thì ta nói ?(?) là VCB ? ? bậc thấp hơn so với ?(?). ? ?• Nếu limx→x 0 = ? với 0 < |?| < +∞, thì ? ? ? ? là VCB ngang bậc với ?(?). ? ?Đặc biệt nếu limx→x 0 = 1 thì ...