Bài giảng Toán cao cấp B1 - ĐH Phạm Văn Đồng

Toán cao cấp B1 là chương trình toán dành cho sinh viên khối ngành kỹ thuật. Nội dung của bài giảng gồm những kiến thức cơ bản về dãy số, hàm số, giới hạn và liên tục, đạo hàm và vi phân, nguyên hàm và tích phân của hàm một biến số, các khái niệm cơ bản của hàm số nhiều biến số thực, phương trình vi phân, lý thuyết chuỗi,...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp B1 - ĐH Phạm Văn ĐồngUBND TỈNH QUẢNG NGÃITRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG------------BÀI GIẢNGTOÁN CAO CẤP B1NGƯỜI BIÊN SOẠN: NGUYỄN VIẾT TRÍĐƠN VỊ: KHOA CƠ BẢNQuảngNgãi, tháng 04 - 2014GIỚI THIỆU MÔN HỌCToán cao cấp B1 là chương trình toán dành cho sinh viên khối ngành kỹthuật. Nội dung của toán cao cấp B1 gồm những kiến thức cơ bản về dãy số, hàmsố, giới hạn và liên tục, đạo hàm và vi phân, nguyên hàm và tích phân của hàm mộtbiến số. Các khái niệm cơ bản của hàm số nhiều biến số thực. Phương trình vi phân,lý thuyết chuỗi. Đặc biệt là các ứng dụng các nội dung nêu trên trong kỹ thuật.Tập bài giảng này được biên soạn theo chương trình qui định năm 2013 củaTrường Đại học Phạm Văn Đồng cho khối ngành kỹ thuật, trình độ cao đẳng đàotạo theo học chế tín chỉ.Chương trình có 7 chương ứng với 3 tín chỉ (45 tiết lên lớp, 90 tiết tự học).Chương 1: Hàm số, giới hạn và sự liên tục của hàm số một biến.Sinh viên cần nắm chắc các khái niệm cơ bản về dãy số, hàm số, giới hạn củadãy số và hàm số, hàm số liên tục, các hàm số thường dùng trong kỹ thuật.Chương 2: Đạo hàm và vi phân của hàm số một biến.Sinh viên nắm chắc khái niệm, cách tính và ý nghĩa đạo hàm, vi phân các cấpcủa hàm số. Áp dụng của đạo hàm vi phân trong kỹ thuật.Chương 3: Tích phân của hàm số một biến.Sinh viên nắm vững định nghĩa, các phương pháp tính nguyên hàm, tíchphân xác định của các hàm số (hàm hữu tỷ, hàm lượng giác, hàm vô tỷ...). Nắm vàbiết khai thác các ứng dụng của tích phân trong kỹ thuật và cuối cùng nắm được tíchphân suy rộng.Chương 4: Hàm số nhiều biến số.Sinh viên nắm vững các khái niệm cơ bản về hàm nhiều biến số, các vấn đề vềtính liên tục, vi phân, cực trị, giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số nhiều biếnsố. Áp dụng trong kỹ thuật.Chương 5: Phương trình vi phân.Sinh viên nắm vững định nghĩa, cách giải phương trình vi phân cấp1, 2 cơ bảnthường gặp. Các ứng dụng thực tế của chúngChương 6: Chuỗi số.Sinh viên nắm vững các khái niệm chuỗi số, sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số.Các dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương, chuỗi số bất kỳ.Chương 7: Chuỗi hàm số.Sinh viên nắm vững các khái niệm dãy hàm số, định nghĩa và các dấu hiệu vềsự hội tụ, hội tụ đều của dãy hàm số, chuỗi hàm số. Định nghĩa, cách khai triển vàứng dụng của chuỗi lũy thừa, Chuỗi lượng giác.Trong mỗi chương sau việc trình bày lý thuyết đều có nêu lên các thí dụ đểminh hoạ trực tiếp khái niệm, định lý hoặc thuật toán để giúp sinh viên dễ dàngtrong tiếp thu bài học, cũng như tự học. Cuối chương có các câu hỏi và bài tập2luyện tập, giúp sinh viên nắm chắc hơn lý thuyết và kiểm tra mức độ tiếp thu bàihọc. Sinh viên cần trả lời các câu hỏi và làm đầy đủ bài tập sau mỗi chương.Để học tốt học phần này, sinh viên cần chú ý những vấn đề sau:+ Thu thập đầy đủ các tài liệu tham khảo.[1] Trần Ngọc Hội- Nguyễn Chính Thắng- Nguyễn Viết Đông (2005), Giáo trìnhtoán cao cấp B và C, Trường ĐH Quốc gia Tp HCM.[2] Nguyễn Công Khanh (2003), Toán cao cấp 1 , ĐHQG Tp HCM.[3] Thái Xuân Tiên (2005), Giáo trình toán cao cấp, Trường ĐH Đà Nẵng.[4] Nguyễn Đình Trí và nhiều tác giả khác (2003), Bài tập toán cao cấp tập II ,NXBGD.[5] Nguyễn Văn Khuê (1998), Bài tập, Toán cao cấp, NXN khoa học và kỹ thuật[6] Nguyễn Mạnh Quý (2007), Giáo trình phương trình vi phân, NXB ĐHSP.[7] Lê Văn Hốt (2005), Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp, ĐH Kinh tế Tp HCM[8] ĐanKô- A.G. PoPôp- T.IA.CogiepNhiCôVa (1996), bài tập toán cao cấp(Sách dùng cho các trường Đại học kỹ thuật), NXB Giáo dục.+ Nắm vững lịch trình giảng dạy, nghiên cứu nắm những kiến thức cốt lõi của bàigiảng trước khi lên lớp học.+ Khi kết thúc mỗi chương sinh viên phải hoàn thành các bài tập do giảng viên yêucầu của chương đó vào tuần tiếp theo, cuối mỗi phần lớn có các bài tập tổng hợp.3Chương 1. HÀM SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC1.1 Dãy số và giới hạn của dãy số1.1.1 Dãy sốĐịnh nghĩa 1.1.1 Ánh xạ f : N *  R từ tập số nguyên dương N * vào tập sốthực R được gọi là dãy số. Đặt f (n)  an thì dãy số được viết dưới dạnga1 , a2 ,..., an ,... (1) hay an  hay ( an )Gọi an là số hạng ( hay phần tử) tổng quát thứ n của dãy số (1).Thí dụ 1.1.1 1, 3, 5, ..., 2n  1,... là một dãy số có số hạng tổng quát: an  2n  1 .32n2n1, 2, , ...,,... là một dãy số có số hạng tổng quát: an 2n 1n 11.1.2 Các dãy số đặc biệt1.1.2.1 Dãy số đơn điệuĐịnh nghĩa 1.1.2 Dãy a n  được gọi là:- Dãy số tăng (hoặc tăng nghiêm ngặt) nếu an 1  an .(hoặc an 1  an ) ;   N *- Dãy số giảm ( hoặc giảm nghiêm ngặt) nếu an 1  an .(hoặc an1  an ) ; n  N *- Dãy số có tất cả các phần tử đều bằng nhau được gọi là dãy dừng- Dãy số tăng hoặc giảm gọi chung là dãy số đơn điệuThí dụ 1.1.2 Dãy an    21; n  N *  là dãy giảm nghiêm ngặtn 1Dãy an  với an   1  1   1  1  ...  1  1n  là dãy tăng nghiêm ngặt242Dãy an   (1)n 1   1, 1,1,..., (1)n 1,... là dãy số không đơn điệu1.1.2.2 Dãy số bị chặnĐịnh nghĩa 1.1.3 Dãy a n  được gọi là:- Dãy số bị chặn trên nếu với k  R : an  k ; n  N *- Dãy số bị chặn dưới nếu với k  R : an  k ; n  N *- Dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới được gọi là dãy số bị chặn( tức là  k  R: k  0 sao cho an  k với n  N * )Thí dụ 1.1.3 Dãy an    22n 1; n  N *  là dãy số giảm nghiêm ngặt và bị chặn (bịchặn trên bởi 1, bị chặn dưới bởi 0).41.1.3 Dãy conĐịnh nghĩa 1.1.4 Từ dãy số an   a1 , a2 , ..., an ,...(1) ta trích ra một dãya   ankn1 , an2 ,..., ank;... Với các chỉ số n1 , n2 ,..., nk ,... là dãy số tự nhiên tănga  được gọi là dãy con trích ra từ dãy số a .Thí dụ 1.1.4 Cho dãy số a    1 .thế thì dãy a    1   1,1,...,1,... là dãynghiêm ngặt. Khi đó, dãy sốnkn2knnkncon của dãy a n    1n Nhận xét: nk  n ; n1.1.4 Một số dãy số thường được dùng trong tin học:- Dãy số theo thứ tự tăng (hoặc giảm) dần ...