Giáo trình Toán cao cấp B1: Phần 2 - Trường CĐ Công nghệ thông tin TP. HCM

Tiếp nội dung phần 1, Giáo trình Toán cao cấp B1: Phần giải tích - Phần 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: Tích phân hàm một biến; Phép Tính vi phân hàm nhiều biến. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Toán cao cấp B1: Phần 2 - Trường CĐ Công nghệ thông tin TP. HCMTRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN CHƯƠNG III TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ3.1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNHI. Nguyên hàm và tích phân bất định1. Định nghĩa nguyên hàm Hàm F ( x ) được gọi là nguyên hàm của hàm f ( x ) trên def miền D ⇔ F ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ D .Chú ý: Họ hàm F ( x ) + C , ∀C = const cũng là nguyên hàmcủa hàm f ( x ) trên miền D.VÍ DỤ 1 x3 Cho hàm f ( x ) = x 2 , họ các nguyên hàm là F ( x ) = +C. 3Định lý Mọi hàm f ( x ) xác định và liên tục trên đoạn [a, b] thì cónguyên hàm trên đoạn đó.2. Định nghĩa tích phân bất định ()Tích phân bất định của hàm f x trên D làF ( x ) + C, ∀C = const với F ( x ) là một nguyên hàm củahàm f ( x ) . defKý hiệu là ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ⇔ F ( x ) = f ( x ) .3. Các tính chất của tích phân bất địnhTC1: ∫ f ( x ) dx = f ( x ) hay d ⎡⎣ ∫ f ( x )dx ⎤⎦ = f ( x )TC 2 : ∫ dF ( x ) = F ( x ) vaø ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C 73TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙNTC 3 : ∫ Cf ( x ) dx = C ∫ f ( x ) dxTC 4 : ∫ ⎡⎣ f ( x ) ± g ( x )⎤⎦ dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dxTC 5 : ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dtTC 6 : ∫ f ( u ) du = F (u) + c; vôùiu = u( x )4. Bảng các tích phân cơ bản1) ∫ adx = ax + c 1) ∫ adu = au + c ; u=u(x) x α +1 uα +12)∫ x dx = α +c 2)∫ u du = α +c (1 + α ) 1+α 1 13) ∫ dx = ln x + c 3) ∫ du = ln u + c x u4)∫ e x dx = e x + c 4 ) ∫ e u du = e u + c ;5)∫ sin xdx = − cos x + c 5)∫ sin udu = − cos u + c6) ∫ cos xdx = sin x + c 6) ∫ cos udu = sin u + c 1 17) ∫ dx = tgx + c 7) ∫ du = tgu + c cos2 x cos2 u dx du8) ∫ = arcsin x + c 8) ∫ = arcsin u + c 1 − x2 1 − u2 dx du9) ∫ = arctgx + c 9) ∫ = arctgu + c 1 + x2 1 + u2 dx x du u10)∫ = ln tg + c 10)∫ = ln tg + c sin x 2 sin u 2 dx x π du u π11)∫ = ln tg( + ) + c 11)∫ = ln tg( + ) + c cos x 2 4 cos u 2 474TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN dx 1 x12) ∫ = arctg + c 12 )∫ 2 du 2 = 1 arctg u + c x +a2 2 a a u +a a a dx du13) ∫ 2 = − cot gx + c 13)∫ 2 = − cot gu + c sin x sin u cos ax14)∫ eα x dx = α −1eα x + c 15) ∫ sin axdx = − +c a sin ax16)∫ cos axdx = +c a dx 1 x−a17) ∫ 2 = ln + C. ( x − a ) 2a x + a 2II. Các phương pháp tính tích phân bất định1) Phương pháp đổi biến số* Neáu x = ϕ t , ( ) ϕ ( t ) laø haøm khaû vi ñôn ñieäu thì∫ f ( x ) dx = ∫ f (ϕ ( t ) ) ϕ ( t ) dt* Neáu ñaët t = ψ ( x ) , ψ ( x ) laø haøm khaû vi, khi ñoù ∫ f (ψ ( x ) ) .ψ ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt. sin 3 xVÍ DỤ 2 Tính tích phân sau: I = ∫ dx 3 x2BÀI GIẢIĐặt t = 3 x ⇒ x = t 3 ⇒ dx = 3t 2 dt vaø 3 x2 = t2 sin 3 x 3t 2 .sin tI =∫ dx = ∫ dt 3 x2 t2 = 3∫ sin tdt = −3cos t + C = −3cos 3 x + C ...