Bài giảng Toán giải tích 1: Chương 6 - Dương Minh Đức

Bài giảng "Toán giải tích 1 - Chương 6: Hàm số liên tục" cung cấp cho người học 22 bài toán chứng minh và áp dụng kiến thức về hàm số liên tục. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán giải tích 1: Chương 6 - Dương Minh Đức CHÖÔNG SAÙU H AØ M S OÁ L I E N T UÏ C Chuùng ta ñaõ bieát neáu {an} laø moät daõy hoäi tuï veà a , theolyù thuyeát veà daõy soá chuùng ta coù theå duøng n } ñeå xaáp xæ { 2 aa2 . Nay chuùng ta ñaët f (t) = t2 vôùi moïi soá thöïc t . Ta coùtheå dieån taû vieäc treân nhö laø “coù theå duøng daõy soá thöïc{f(an)} ñeå xaáp xæ f(a)”. Chuùng ta seõ xeùt moät moâ hình toaùn hoïc veà caùc aùnh xaï fcoù tính chaát sau: neáu {an} laø moät daõy hoäi tuï veà a , thì{f(an)} laø moät daõy hoäi tuï veà f(a). Ñoù laø khaùi nieäm haøm soálieân tuïc. 260Cho A laø moät taäp con khaùc troáng cuûa — vaø f laø moätaùnh xaï töø A vaøo —, ta noùi f laø moät haøm soá thöïc treân A.Cho moät haøm soá thöïc f treân moät taäp hôïp con khaùctroáng A cuûa — vaø x  A, ta noùi f lieân tuïc taïi x neáu vaøchæ neáu vôùi moïi soá thöïc döông  ta tìm ñöôïc moät soáthöïc döông (x, ) sao cho |f(x) - f(y) | <   y  A vôùi |y - x | <  (x, ). Neáu f lieân tuïc taïi moïi ñieåm x  A ta noùi f lieân tuïctreân A 261Vôùi moïi soá döông  ta tìm ñöôïc moät soá döông (x, ) saocho |f(x) - f(y) | <   y  A vôùi |y -x | <  (x,). x f(x) f(x)- f(x)+ x f(x) x-(x,) x+(x, ) f(x)- f(x)+ y x f(x) f(y) (x, )  262263Baøi toaùn 51. Cho c laø moät soá thöïc vaø ñaët f (x ) = c vôùimoïi x  — . Chöùng minh f lieân tuïc treân — .Chöùng minh f lieân tuïc taïi moïi x trong — . x  — , e > 0 $ d(x, e ) > 0 sao cho |f(y)- f(x)| Baøi toaùn 52. Cho c laø moät soá thöïc döôn , ñaët f (x ) = cxvôùi moïi x  — . Chöùng minh f lieân tuïc treân — .Chöùng minh f lieân tuïc taïi moïi x trong — . x  — , e > 0 $ d(x, e ) > 0 sao cho |f(y)- f(x)| 0 , tìm d(x, e ) > 0 sao cho c|y-x |Baøi toaùn 53. Ñaët f (x ) = x2 vôùi moïi x  — . Chöùng minhf lieân tuïc treân — .Chöùng minh f lieân tuïc taïi moïi x trong — . x  — , e > 0 $ d(x, e ) > 0 sao cho |f(y)- f(x)| 0 , tìm $ d(x, e ) > 0 sao cho| y + x |.| y - x | < e y  — , | y - x | < d(x, e ) 266Cho x  — vaø cho e > 0 , tìm $ d(x, e ) > 0 sao cho| y + x |.| y - x | < e y  — , | y - x | < d(x, e )Caùch xöû lyù | y + x | Neáu | y - x | < 1 , ta coù:x-1 x+1 | y+x |  | y- x+ 2x |  y x  | y-x | + 2|x | < 1+2|x || y + x |.| y - x |  (1+ 2|x |)| y - x | y  —, | y-x | < 1Thay | y - x | baèng d(x, e ) trong “(1+ 2|x |)| y - x | ”(1+ 2|x |)| y - x | < (1+ 2|x |) d(x, e ) < e y  —, | y-x | < 1(1+ 2|x |) d(x, e )  e  d(x, e )  (1+ 2|x |) -1eCho x  — vaø e > 0, ñaët d(x, e ) = min{1,(1+2|x |)-1 e }> 0| y+x |.|y-x |  (1+2|x |)|y-x | < e y  —, |y-x | < d(x, e ) 267Baøi toaùn 53. Cho moät haøm soá thöïc f treân moät taäp hôïpcon A cuûa — vaø x  A. Giaû söû f lieân tuïc taïi x . Cho{xn} laø moät daõy trong A (nghóa laø xn  A vôùi moïi n ) vaø{xn}hoäi tuï veà x. Chöùng minh daõy f(xn) hoäi tuï veàf(x)Cho e > 0 , coù $ d(x, e ) > 0 sao cho |f(y)- f(x)| 0 tìm moät M(e”) œ Õ sao cho | f(xm) - f(x) | < e” m ¥ M(e”) . 268 Cho moät e” > 0 tìm moät M(e”) œ Õ sao cho | f(xm) - f(x) | < e” m ¥ M(e”) . Cho moät e’ > 0 ta coù moät N(e’) œ Õ sao cho | xn - x | < e’ n ¥ N(e’) . Cho moät e > 0 ta coù d(x,e) > 0 sao cho | f(y) - f(x) | < e yœA vôùi | y – x | < d(x,e)e” V e xm V y d(x,e) V e’ M(e”) V N(e’)Cho e” > 0 Vôùi e coù ñaët Vôùi e’ ñaëtñaët e = e” d(x,e) e’ = d(x,e) coù N(e’) M(e”)= N(e’)m¥M(e”)=N(e’) |xn- x | Baøi toaùn 54. Cho moät haøm soá thöïc f treân moät taäp hôïpcon A cuûa — vaø x  A. Giaû söû vôùi moïi daõy {xn} trongA (nghóa laø xn  A vôùi moïi n  Õ) vaø {xn} hoäi tuï veà x ,thì daõy f(xn) hoäi tuï veà f(x) . Luùc ñoù f lieân tuïc taïi x .Cho moät e > 0 ta coù moät N(e) œ Õ sao cho | xn - x | < e n ¥ N(e)fl Cho moät e’ > 0 ta coù moät M(e’) œ Õ sao cho | f(xn) - f(x) | < e’ n ¥ M(e’) .Cho moät e” > 0 tìm d(x,e”) > 0 sao cho| f(y) - f(x) | < e” y œ A vôùi | y – x | < d(x,e”)Coù e” > 0 sao cho vôùi moãi d > 0 ta coù moät yd œ Avôùi | yd – x | < d sao cho | f(yd ) - f(x) | ¥ e” 270Cho moät e > 0 ta coù moät N(e) œ Õ sao cho | xn - x | < e n ¥ N(e) .fl Cho moät e’ > 0 ta coù moät M(e’) œ Õ sao cho | f(xn) - f(x) | < e’ n ¥ M(e’) .Coù e” > 0 sao cho vôùi moãi d > 0 ta coù moät yd œ Avôùi | yd – x | < d sao cho | f(yd ) - f(x) | ¥ e”Tìm caùc thaønh toá coù veõ maâu thuaãn vôùi nhau| f(xn) - f(x) | < e’ V | f(yd ) - f(x) | ¥ e”yd V xn | yd – x | < d V | xn - x | < eChoïn d = n-1 vaø xn = y1/n| xn - x | < n-1 vaø | f(xn) - f(x) | = | f(yd ) - f(x) | ¥ e” n 271Baøi toaùn 55. Cho A laø moät taäp hôïp con khaùc troángcuûa —, x  A vaø hai haøm soá thöïc f vaø g treân A lieântuïc taïi x. Ñaët h (z) = f(z) + g(z)  z  A. Luùc ñoù h lieân tuïc taïi x.C ...