Bài giảng Toán giải tích: Phần 2 - Trường CĐ Cộng đồng Đồng Tháp

Bài giảng Toán giải tích gồm có 4 chương, cung cấp cho người học những kiến thức như: hàm số - giới hạn và tính liên tục của hàm số; phép tính vi phân hàm một biến; phép tính tích phân của hàm một biến; phép tính vi phân hàm nhiều biến. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung phần 2 giáo trình!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán giải tích: Phần 2 - Trường CĐ Cộng đồng Đồng Tháp Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN Mục đích yêu cầu Học xong chương này, Sinh viên phải thành thạo: - Nắm vững công thức tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản. - Các tính chất của tích phân bất định, tích phân xác định. - Các phép tính tích phân bất định, tích phân xác định: phân tích, đổi biến số, từng phần. - Tích phân các hàm số hữu tỷ, vô tỷ, lượng giác đơn giản qua từng vấn đề. - Nắm vững cách dùng công thức Newton – Leibniz. - Phân biệt được sự khác nhau giữa phép biến đổi trong tích phân bất định và tích phân xác định. - Vận dụng được các phương pháp tính tích phân. - Ứng dụng tính diện tích – thể tích. - Tính các tích phân suy rộng loại 1 và loại 2. Kiến thức chuẩn bị Để học được chương này cần trang bị các kiến thức: - Các công thức tính đạo hàm của các hàm số sơ cấp. - Các cách tính đạo hàm và vi phân của các hàm một biến. - Các cách tính giới hạn học ở chương 1 và chương 2. 503.1. Tích phân không xác định3.1.1. Nguyên hàm và tích phân không xác định3.1.1.1. Định nghĩa Hàm số F (x ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x ) trên a;b  nếu (3.1.1) F (x )  f (x ), x  a;b Ví dụ 1:  sin x   cos x  sin x là nguyên hàm của cosx .3.1.1.2. Định lý * Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có nguyên hàm trên đoạn đó. * Nếu F (x ) là nguyên hàm của f (x ) thì F (x )  C cũng là nguyên hàm củaf (x ) . (Việc tìm nguyên hàm của hàm số còn gọi là phép lấy tích phân của hàm số đó).Định nghĩa Tập tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x ) được gọi là tích phân không xácđịnh của f (x ) , kí hiệu là:  f (x )dx .  f (x )dx  F (x )  C (3.1.2)3.1.1.3. Tính chất của tích phân không xác định Cho f , g là các hàm số có nguyên hàm. Khi đó i)   f (x )dx    f (x )dx ( là hằng số). ii)   f (x )  g(x ) dx   f (x )dx   g(x )dx .   f (x )dx   f (x ) . iii) iv)  f (x )dx  f (x )  C . 51 Bảng tích phân của một số hàm số sơ cấp  Nguyên hàm của các HSCB y  f (x ) Hàm y  ax  b ( a  0 ) dx  x  C .  x  1 x dx   C   1 . 1 1 1  1  (ax  b)2dx   a . ax  b  C 1 1 x 2dx   x  C x  0 .  ax  b 1 dx  2 1 ax  b  C a 1 x dx  2 x  C . a x b 1 aa x b  a dx  a  . ln a  C . ax 1 ax b a dx  ln a  C . x  e dx  a e  C . ax b e dx  e x x C . 1 1  ax  bdx  a ln ax  b  C . 1 xdx  ln x  C . 1  sin(ax  b)dx  - a cos(ax  b)  C sin xdx  - cos x  C . 1  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C cos xdx  sin x  C . 1 1 1  cos2(ax  b)dx  a tan(ax  b)  C . cos2 xdx  tan x  C . 1 1 1  sin2(ax  b)dx   a cot(ax  b)  C . sin2 xdx   cot x  C . 1 1 - x 2 dx  arcsin x  C   arccos x  C 1 x 2  1dx  arctan x  C  arc cot x  C 1 1 x x 2  a 2dx  a arctan a  C 1 1 1x 1  x2 dx  ln 2 1x C 1 1 x a x 2  a 2dx  2a ln x  a C 1 2 x a dx  ln ...