Bài giảng Toán kinh tế - Phần 2: Vi tích phân

Bài giảng cung cấp cho người học các kiến thức: Vi tích phân, hàm số, giới hạn hàm số, đạo hàm và vi phân, hàm nhiều biến,... Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên đang theo học môn dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung tài liệu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán kinh tế - Phần 2: Vi tích phân PHẦN II. VI TÍCH PHÂN Chương 1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Chương 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN chương 3. HÀM NHIỀU BIẾN05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 1 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾNĐịnh nghĩa ánh xạ: Cho X, Y là hai tập bất kỳ. Nếu x X,được cho tương ứng duy nhất một y = f(x) Y theo qui tắc f, thìf được gọi là một ánh xạ từ X vào Y. Ký hiệu: f : X Y x  f (x) x  y f (x)a) Đơn ánh: x1, x2 X, x1 ≠ x2 => f(x1) ≠ f(x2)b) Toàn ánh: Với mỗi y Y, x X: y = f(x)c) Song ánh: Nếu f vừa là đơn ánh và toàn ánhd) Nếu f: X Y là song ánh thì f-1: Y X là ánh xạ ngược của f 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 2 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐĐịnh nghĩa hàm số: Với X R, ta gọi ánh xạ f:X Y là mộthàm số một biến. Ký hiệu là y = f(x). x: biến độc lập y: biến phụ thuộc. Tập X: miền xác định Tập f(X) = {f(x): x X}:, miền giá trị của f Giá trị lớn nhất M, giá trị nhỏ nhất m của f: M max f ( x ) m min f ( x ) x X x XVí dụ: Tìm miền xác định, giá trị hàm số y = 2x2 - 4x + 6 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 3 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐĐịnh nghĩa phép toán: Cho f, g cùng miền xác định X: a) f(x) = g(x), x X b) (f g)(x) = f(x) g(x), x X c) (fg)(x) = f(x)g(x), x X d) Hàm số f/g có miền xác định X1 = X\{x: g(x) = 0} : f f (x) ( )( x ) , x X1 g g( x ) e) (af)(x) = af(x), x XVí dụ: Cho ba hàm số f(x) = x2 + 6, g ( x ) x , h(x) = x + 2Xác định hàm số (f – 3h)/g và miền xác định của nó. 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 4 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐHàm số hợp: Giả sử y = f(u) là hàm số của biến u, đồng thời u= g(x) là hàm số của biến x. Khi đó f = f(u) = f[g(x)] là hàm sốhợp của f và g. Ký hiệu fog.Ví dụ: Dựa vào ví dụ trên tìm gof, goh và tìm miền xác định.Hàm số ngược: Cho hàm số f có miền xác định X. Nếu f: X Ylà một song ánh thì f-1: Y X được gọi là hàm số ngược của f. Gọi (C), (C-1) là đồ thị của f, f-1 thì đồ thị của nó đối xứngvới nhau qua đường thẳng y = x. M(x,y) (C) y = f(x) x = f-1(y) N(y,x) (C-1) 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 5 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐHàm số đơn điệu:• f gọi là tăng trên (a,b) nếu: x1,x2 X: x1 < x2 => f(x1) f(x2)• f gọi là giảm trên (a,b) nếu: x1,x2 X: x1 < x2 => f(x1) f(x2)• f được gọi là bị chặn trên X nếu: M: f(x) ≤ M, x XHàm số tăng hoặc giảm được gọi chung là hàm số đơn điệu.Chú ý: Một hàm số có thể không đơn điều trên miền xác địnhX, nhưng lại đơn điệu trên các tập D X. 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 6 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐHàm số tuần hoàn: Cho hàm số f có miền xác định X. Hàm sốđược gọi là tuần hoàn nếu: T ≠ 0: f(x+T) = f(x), x X Số T0 > 0 nhỏ nhất (nếu có) của T được gọi là chu kỳ cơsở của hàm số f. Ví dụ: Hàm số f(x) = sinx, g(x) = cos(x) tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T0 = 2 . Hàm số f(x) = tg(x), g(x) = cotgx tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T0= . 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 7 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐĐịnh nghĩa: Hàm số f có miền xác định X, với x X, -x X. a) f được gọi là hàm số chẵn nếu: f(-x) = f(x), x X b) f được gọi là hàm số lẻ nếu: f(-x) = -f(x), x X Ví dụ: Hàm số f(x) = cosx + x - x2làhàmsốchẵn, g( x ) lg(x x 2 1) là hàm số lẻ.Ghi chú: Gọi (C) là đồ thị của hàm số f. a) Nếu f là hàm số chẵn thì (C) đối xứng qua Oy: (x,f(x)) (C) (-x,f(-x)) = (x,f(x)) (C) b) Nếu f là hàm số lẻ thì (C) đối xứng qua gốc toạ độ: (x,f(x)) (C) (-x,f(-x)) = (-x,-f(x)) (C) 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 8 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ2. PHÂN LOẠI HÀM SỐ1. Hàm số luỹ thừa: y = x , với R Miền xác định của hàm số luỹ thừa phụ thuộc .• N: miền xác định R• nguyên âm: miền xác định x ≠ 0.• có dạng 1/p, p Z: miền xác định phụ thuộc vào p chẵn, lẻ• là số vô tỉ thì qui ước chỉ xét y = x tại mọi x 0 nếu >0và tại mọi x > 0 nếu < 0. Đồ thị của y = x luôn qua điểm (1,1) và đi qua góc toạđộ (0,0) nếu > 0, không đi qua góc toạ độ nếu < 0. 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 9 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ3. Hàm số mũ: y = ax (a > 0, a ≠ 1) Hàm số mũ xác định với mọi x dương. Hàm số mũ tăng khi a > 1. Hàm số mũ giảm khi a < 1. Điểm (0,1) luôn nằm trên đồ thị của hàm số mũ.4. Hàm số logarit: y = logax, a > 0, a ≠ 1 Hàm số logarit chỉ xác định với x > 0. Hàm số logax tăng khi a > 1 Hàm số logax giảm khi a < 1 Điểm (1,0) luôn nằm trên đồ thị Hàm số y = logax là hàm số ngược của hàm số y = ax 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 10C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐMột số tính chất của logax: Loga(x1x2)=Loga(x1)+Loga(x2) x1 Log a ( ) Log a ( x1 ) Log a ( x 2 ) x2 Logaxα=αLogax b a loga b Log c b Log a b Log c a05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 11 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ5. Hàm số lượng giác:• y = sinx, miền giá trị [-1,1], hàm lẻ, chu kỳ 2• y = cosx, miền giá trị [-1,1], hàm chẵn, chu kỳ 2• y = tgx, miền xác định x ≠ (2k+1) /2, hàm lẻ, chu kỳ• y = cotgx, miền xác định x≠k ,k Z, hàm lẻ, chu kỳ ...