Bài giảng Toán kỹ thuật: Hàm phức và ứng dụng - Hàm giải tích

Bài giảng Toán kỹ thuật: Phần 3 - Hàm phức và ứng dụng sẽ giới thiệu tới các bạn về hàm giải tích với các nội dung chính về hàm biến phức; giới hạn và liên tục; đạo hàm; điều kiện Cauchy - Riemann; các tính chất của hàm giải tích;... Mời các bạn cùng tìm hiểu và tham khảo nội dung thông tin tài liệu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán kỹ thuật: Hàm phức và ứng dụng - Hàm giải tíchToán kỹ thuậtI. Giải tích FourierII. Phép biến đổi LaplaceIII.Hàm phức và ứng dụngHàm phức và ứng dụng 1. Hàm giải tích 2. Tích phân phức 3. Chuỗi hàm phức 4. Lý thuyết thặng dư 5. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư 6. Phép biến đổi bảo giác1. Hàm giải tích a. Hàm biến phức b. Giới hạn và liên tục c. Đạo hàm d. Điều kiện Cauchy – Riémann e. Các tính chất của hàm giải tích f. Cám hàm phức sơ cấp 1. Hàm giải tícha. Hàm biến phứcĐịnh nghĩa: w = f(z) với z = x + jy w = u(x,y) + jv(x, y)Ví dụ: 1 w  f ( z )   u ( x, y )  jv( x, y ) z 1 x y f ( z)   2 j 2 x  jy x  y 2 x  y2 x y  u ( x, y )  2 ; v ( x, y )   2 x y 2 x  y2 1. Hàm giải tíchb. Giới hạn và liên tụcĐịnh nghĩa:Giới hạn: lim f ( z )  w0 z  z0    0,  ( ) : f ( z )  w0   , z  0  z  z0   ( )Liên tục: Hàm f(z) gọi là liên tục tại z0 nếu: lim f ( z )  f ( z0 ) z  z0 1. Hàm giải tíchc. Đạo hàmĐịnh nghĩa: dw f ( z  z )  f ( z )  w  f ( z )  lim dz z 0 zVới điều kiện nào thì hàm biến phức f(z) có đạo hàm? 1. Hàm giải tíchd. Điều kiện Cauchy – Riémann w = f(z) = u(x,y) + jv(x,y)  u v  Điều kiện Cauchy – Riémann:  x y   u   v  y x- f(z) có đạo hàm tại z = z0  f(z) thỏa điều kiện Cauchy – Riémann tại z0.- f(z) có đạo hàm tại z = z0 và tại mọi điểm trong lân cận của z0: f(z) giải tích tại z0. z0 là một điểm thường của f(z).- f(z) giải tích trong D  f(z) giải tích tại mọi điểm trong D. 1. Hàm giải tíchd. Điều kiện Cauchy – RiémannĐạo hàm của hàm giải tích: u v v u f ( z )  j  j x x y yVí dụ: Khảo sát điều kiện Cauchy – Riémann cho các hàmsố sau: a. f ( z )  z b. f ( z )  z.Re  z c. f ( z )  z 2 d . f ( z )  e zGiải:a, c: xem sách. 1. Hàm giải tíchd. Điều kiện Cauchy – Riémann b. f ( z )  ( x  jy ) x  x 2  jxy  u ( x, y )  x 2 ; v( x, y )  xy u v u v  2 x;  x;  0;  y x y y x f(z) chỉ tồn tại đạo hàm tại z = 0. x u  e cos  y d. f ( z)  e ( x  jy )  e  cos  y  j sin  y    x x  v  e sin  y u v   e x cos  y;   e x cos  y; x y u v   e sin  y;   e x sin  y x y x u v f ( z )   j   e x (cos  y  j sin  y )   e z x x 1. Hàm giải tíchd. Điều kiện Cauchy – RiémannVí dụ: cho u(x,y) = x2 – y2 + 2x; tìm hàm v(x,y) sao cho f(z) = u(x,y) + jv(x,y) là hàm giải tích.Giải:Điều kiện Cauchy – Riemann: v u   2 x  2  v  2 xy  2 y  F ( x) y x u v dF    2 y   2 y   F ( x)  C y x dxCó thể chọn C bất kỳ, giả sử C = 0: f(z) = x2 – y2 + 2x + j(2xy + 2y) = z2 + 2z 1. Hàm giải tíche. Các tính chất của hàm giải tích:Khái niệm Hàm điều hòa: Φ(x,y) được gọi là hàm điều hòa nếu thỏa phươngtrình Laplace:  2  2  2 0 x 2 yTính chất 1: Nếu f(z) = u + jv là hàm giải tích thì u, v là haihàm điều hòa. Trong trường hợp này u, v được gọi là haihàm điều hòa liên hợp.Ví dụ: xét hàm: f(z) = x2 – y2 + 2x + j(2xy + 2y) = z2 + 2z 1. Hàm giải tíche. Các tính chất của hàm giải tích:Tính chất 2: Nếu f(z) = u + jv là hàm giải tích trong miền Dthì các đường cong ...