Bài tập về giới hạn dãy số

Đây là bài tập về giới hạn dãy số gửi đến các bạn học sinh tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập về giới hạn dãy số Giới hạn dãy số a)Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 1 và là dãy số tăng b)Suy ra (un) có giới hạn và tính giới hạn đó *Các giới hạn thường gặp: 6.Tìm các số hữu tỉ sau : limC = C ; lim= 0 α > 0 ; lim = 0 ; limqn = 0 |q| < 1 a) 2,1111111... b)1,030303030303... c)3,1515151515....*Các phép toán giới hạn : 7.Tính lim(1 – ).(1 – ).(1 – )…(1 – ) lim(un ± vn) = limun ± limvn ; lim(un.vn) = limun ; 8. Cho dãy (xn) thỏa 0 < xn < 1 và xn+1(1 – xn) ≥ Chứng minh rằng: dãy số (xn) tăng. Tính limxn limvnlim = 9. Cho dãy (xn) thỏa 1 < xn < 2 và xn+1 = 1 + xn – xn2 ∀n ∈ N*Các định lý về giới hạn: a)Chứng minh rằng: |xn – | < ()n ∀n ≥ 3Định lý 1: Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn b) Tính limxn Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn 10.Cho dãy số xác định bởi : u1 = ; un +1=Định lý 2: Cho 3 dãy số (un),(vn) và (wn) a) Chứng minh rằng: un < 1 ∀n b) Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn trên Nếu ∀n ta có un ≤ vn ≤ wn và limun = limwn = A thì limvn = A c) Tính limunĐịnh lý 3: Nếu limun = 0 thì lim = ∞ 11.Cho dãy số (un) xác định bởi công thức u1 = và un +1= Nếu limun = ∞ thì lim = 0 a) Chứng minh rằng un < 3 ∀ n*Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là S = b)Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn trên1.Dùng định nghĩa,tính các giới hạn sau: c) Tính limun a) lim b) lim c) lim 2.Tính các giới hạn sau: Giới hạn hàm số a) lim b) lim c) lim *Các phép toán về giới hạn hàm số 2n − 3 lim [ f (x) ± g(x) ] = lim f (x) ± lim g(x) d) lim e) lim 3 3 n − 2n + 1 x →a x →a x →a lim [ f (x).g(x) ] = lim f (x).lim g(x) f)lim() g) lim x →a x →a 3.Tính các giới hạn sau: x →a a) lim b) lim() c) lim) lim f (x) f (x) d) lim) e) lim = x →a lim f (x) = lim f (x) lim x → a g(x) lim g(x) x →a x →a n + n + n + 3 n +1 3 3 2 2 x →a f) lim g) lim n 3 +1 *Các định lý về giới hạn hàm số : h) lim i) lim() Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất j) lim n() k) lim( 3 n 3 − 2n 2 − n ) Định lý 2:Cho 3 hàm số g(x),f(x),h(x) cùng xác định trong khoảng Kl) lim m) lim(1 + n2 – ) chứa a và g(x) ≤ f(x) ≤ h(x). Nếu lim g(x) = lim h(x) = L thì x →a x →an) lim lim f (x) = L4.Tính các giới hạn x →aa) lim b) lim c) lim 1 Định lý 3: Nếu lim f (x) = 0 thì lim =∞d) lim e) lim f) lim f (x) ...