Bài toán bất đẳng thức - GTLN - GTNN của biểu thức - Nguyễn Hữu Hiếu

Tài liệu "Bài toán bất đẳng thức - GTLN - GTNN của biểu thức" được biên soạn bởi giáo viên Nguyễn Hữu Hiếu hướng dẫn giải một số dạng toán bất đẳng thức và GTLN – GTNN (giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất) của biểu thức. Giúp các bạn học sinh có thêm tài liệu ôn tập, luyện tập giải đề nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập một cách thuận lợi.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài toán bất đẳng thức - GTLN - GTNN của biểu thức - Nguyễn Hữu HiếuTrường THPT Hùng Vương GV. Nguyễn Hữu Hiếu BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC-GTLN-GTNN CỦA BIỂU THỨC1. Một số bất đẳng thức cơ bản thường sử dụng1.1 Cho a, b  0 . Khi đó ta có a  b  2 ab . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b . Bất đẳngthức này còn được viết dưới dạng khác tương đương là  a  b 2 a b 2 ;  a  b   4ab ; a  b  2ab ; a 2  b2  2   ab 2 2   2  21.2 Cho a , b, c  0 . Khi đó ta có a  b  c  3 3 abc . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c .Bất đẳng thức này còn có một số ứng dụng để chứng minh một số bất đẳng thức cơ bản kháckhá phổ biến như sau: 1 a 2  b2  c 2  ab  bc  ca a 2  b2  c 2  a  b  c  2 3  a  b  c   3 ab  bc  ca  a 2b2  b2c2  c2a 2  abc  a  b  c  2  ab  bc  ca   3abc  a  b  c  3  a 3  b3  c 3    a 2  b 2  c 2  2 2 3 9  a  b  c  ab  bc  ca    a  b  b  c  c  a  8 a  b  c 2  a  b  c   1 1 1 a b c 2 2 2    9 3 a b c1.4 Một số hằng đẳng thức đáng nhớ  x  y  y  z    y  z  z  x    z  x  x  y    x  y  z   xy  yz  zx 2  x  y  y  z  z  x   xyz   x  y  z  xy  yz  zx  x 2  y 2  z 2   x  y  z   2  xy  yz  zx  2 x 3  y 3  z 3   x  y  z   3 x  y  y  z  z  x  31.5 Tuy nhiên biểu thức này làm ta nhớ đến bất đẳng thức phụ: 1 1 2 2 2 , với ab 1 . a 1 b 1 1 ab 1 1 2   , với a, b  0 và ab  1 . 1  a 1  b 1  ab 2 2   , a, b  0 2 (1  a )(1  b)  1  abII. Bất đẳng thức đối xứng hai biếnPhương pháp giải1) x 2  y 2  2 xy ; đúng x; y . Dấu  xảy ra khi và chỉ khi x  y ; x2 y2  x  y  x  y 2 22) x  y     ; đúng x; y . Dấu  xảy ra khi và chỉ khi x  y ; 2 2 1 1 11 2  x  y 23) xy  ; đúng x; y . Dấu  xảy ra khi và chỉ khi x  y ; 44)  x  y   4 xy ; đúng x; y . Dấu  xảy ra khi và chỉ khi x  y . 2Tài liệu bồi dưỡng HSG 12 Trang 1Trường THPT Hùng Vương GV. Nguyễn Hữu HiếuBài 1. Cho các số thực x, y thỏa điều kiện 2 x  y  2 2   xy  1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị x4  y4 nhỏ nhất của biểu thức P  . 2 xy  1Lời giải  Đặt t  xy . Ta có: xy  1  2  x  y   2 xy  4 xy  xy   ...