Báo cáo nghiên cứu khoa học: Một số kết quả về cấu trúc đối xứng của tích Descartes các nữa không gian trên

Tài liệu tham khảo về đề tài: Một số kết quả về cấu trúc đối xứng của tích Descartes các nữa không gian trên...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Một số kết quả về cấu trúc đối xứng của tích Descartes các nữa không gian trên" T P CHÍ KHOA H C, Đ i h c Hu , S 59, 2010 M T S K T QU V C U TRÚC Đ I X NG C A TÍCH DESCARTES CÁC N A KHÔNG GIAN TRÊN Tr n Đ o Dõng, Đ i h c Hu Hoàng Thái Vũ, S GD-ĐT Th a Thiên Hu Tóm t t. M t trong các bài toán cơ b n trong hình h c vi phân và lý thuy t Lie là kh o sát không gian đ i x ng đ a phương dư i d ng không gian thương c a không gian đ i x ng c m sinh qua tác đ ng c a các nhóm (con) s h c, đ c bi t là các nhóm r i r c. Trong [6], chúng tôi đã kh o sát c u trúc không gian đ i x ng c a n a không gian trên H3 đư c th hi n như không gian đ i x ng SL(2, C)/SU (2) qua tác đ ng c a SL(2, C). T đó, ng d ng kh o sát m t s tính ch t c a không gian đ i x ng đ a phương SL(2, Z + iZ)\SL(2, C)/SU (2) c m sinh qua tác đ ng c a nhóm r i r c SL(2, Z + iZ) trên H3 . Trong bài vi t này, chúng tôi m r ng các k t qu trên cho trư ng h p tích Descartes n H3 := H3 × ... × H3 c a các n a không gian trên đư c th hi n như không gian đ i x ng SLn (2, C)/SU n (2) c m sinh qua tác đ ng c a nhóm (con) r i r c SLn (2, Z + iZ) trên Hn . 3 1. C u trúc đ i x ng c a tích Descartes các n a không gian trên Đ nh nghĩa 1.1. Cho H = {s + tj |s, t ∈ C} là đ i s quaternion (chu n t c). T p h p H3 := {z = s + tj ∈ H | s ∈ C; t ∈ R; t > 0} = {z = x + yi + tj ∈ H | x, y, t ∈ R; t > 0} ≡ {(x, y, t) | x, y, t ∈ R; t > 0}, đư c g i là n a không gian trên. Khi đó H3 là m t đa t p 3 chi u v i c u trúc Riemann |dz |2 dx2 + dy 2 + dt2 ds2 := = . t2 t2 Hơn n a, ta có: M nh đ 1.2. Cho đa t p H3 và đi m c đ nh z0 = (x0 , y0 , t0 ) ∈ H3 . Khi đó, ánh x −→ f z0 : H3 H3 (x, y, t) −→ (2x0 − x, 2y0 − y, t), là m t vi phôi đ ng c và đ i h p. Suy ra H3 là m t không gian đ i x ng. Ch ng minh. i) fz0 song ánh là rõ. 17 ii) Do các ánh x thành ph n kh vi nên fz0 kh vi. iii) Ta có, (fz0 )2 (x, y, t) = fz0 (fz0 (x, y, t)) = fz0 (2x0 − x, 2y0 − y, t) = (x, y, t), ∀(x, y, t) ∈ H3 . V y (fz0 )2 = IdH3 . Suy ra, fz0 là m t phép bi n đ i đ i h p. Hơn n a, do (fz0 )2 = IdH3 nên (fz0 )−1 = fz0 . Suy ra, (fz0 )−1 cũng kh vi. iv) M t khác, fz0 đư c bi u di n dư i d ng: −→ f z0 : H3 H3 x + yi + tj −→ (−x − yi + tj ) + (2x0 + 2y0 i). Suy ra fz0 là m t phép bi n đ i đ ng c c a H3 . T đó fz0 là m t vi phôi đ ng c và đ i h p c a H3 . Ch ng minh tương t M nh đ (1.2), chúng ta có hai m nh đ sau: M nh đ 1.3.Cho đa t p H3 , xét k ∈ S 1 ⊂ C và z0 = s0 + t0 j ∈ H3 . Khi đó, ánh x −→ f: H3 H3 z = s + tj −→ −[t0 ] [k (s − s0 ) + tj ]−1 + s0 , 2 là m t vi phôi đ ng c và đ i h p c a H3 . M nh đ 1.4. Cho đa t p H3 , xét k ∈ S 0 = {−1, 1} và z0 = s0 + t0 j ∈ H3 . Khi đó, ánh x −→ f: H3 H3 z = s + tj −→ −[t0 ] [k (s − s0 ) + tj ]−1 + s0 , 2 là m t vi phôi đ ng c và đ i h p c a H3 . K t qu dư i đây th hi n m i liên h gi a H3 v i không gian đ i x ng SL(2, C)/SU (2) qua tác đ ng c a nhóm Lie SL(2, C) trên H3 M nh đ 1.5.([6, M nh đ 1.5]) Cho nhóm Lie G = SL(2, C) và n a không gian trên H3 = {z = s + tj ∈ H | s ∈ C; t ∈ R, t > 0}. Khi đó, ánh x G × H3 −→ ϕ: H3 ab ab .z := [az + b][cz + d]−1 , , z ) −→ ( cd cd là m t tác đ ng (trái) đ ng c và b c c u c a nhóm Lie G = SL(2, C) trên t p h p (đa t p) H3 . Hơn n a, ta có H3 ∼ SL(2, C)/SU (2). = Bây gi chúng ta xác đ nh c u trúc không gian đ i x ng c a tích Descartes các n a không gian trên Hn := H3 × ... × H3 . 3 18 Xét đa t p tích Hn . G i dH3 là mêtric trên n a không gian trên H3 . Khi đó, mêtric 3 dHn trên H ...