Báo cáo nghiên cứu khoa học: Về cấu trúc và biểu hiện xạ ảnh của nhóm Lie Poin caré

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học trường đại học Huế đề tài: Về cấu trúc và biểu hiện xạ ảnh của nhóm Lie Poin caré...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Về cấu trúc và biểu hiện xạ ảnh của nhóm Lie Poin caré" T P CHÍ KHOA H C Đ I H C HU , S 48, 2008 V C U TRÚC VÀ BI U DI N X NH C A NHÓM LIE POINCARÉ Tr n Đ o Dõng, Đ i h c Hu Lưu Th Khánh Giang, S GD-ĐT Qu ng Bình Nguy n Tân Quang, h c viên cao h c trư ng ĐHSP, Đ i h c Hu TÓM T T M t trong các bài toán cơ b n c a lý thuy t bi u di n nhóm Lie là mô t và phân l p các bi u di n unita b t kh qui c a các nhóm Lie n a đơn, đ c bi t là các bi u di n x nh b t kh qui c m sinh t bi u di n unita b t kh qui c a ph ph d ng đơn liên tương ng. Trong bài vi t này, trư c h t chúng tôi kh o sát c u trúc c a nhóm Poincaré xét như tích n a tr c ti p c a các nhóm Lie. Ti p đó, chúng tôi kh o sát bi u di n x nh c a nhóm Lie Poincaré liên thông SO(3, 1)◦ R4 c m sinh t các bi u di n unita b t kh quy c a tích n a tr c ti p SL(2, C) R4 , ph ph d ng đơn liên 2-lá c a SO(3, 1)◦ R4 . §1. Nhóm poincaré và ph đơn liên tương ng 1.1. Đ nh nghĩa: Cho nhóm Lorentz H = O(3, 1) tác đ ng m t cách t nhiên lên R4 qua ánh x τ : O(3, 1) × R4 → R4 , (g, x) → τ (g, x) = gx. Khi đó, ánh x α : g → τ (g, .) là m t đ ng c u nhóm t nhóm Lorentz H = O(3, 1) vào nhóm các t đ ng c u trơn c a R4 . Ta đ nh nghĩa nhóm Poincaré là tích n a tr c ti p O(3, 1) ×τ R4 c a các nhóm Lie O(3, 1) và R4 . Đ đơn gi n, nhóm Poincaré thư ng đư c ký hi u là G = O(3, 1) R4 . Phép toán nhân và ngh ch đ o trên nhóm Poincaré cho b i (g, x)(g , x ) = (gg , τ (g −1 , x) + x ) = (gg , g −1 x + x ) (g, x)−1 = (g −1 , τ (g, −x)) = (g −1 , −gx), ∀(g, x), (g , x ) ∈ G. 1.2. M nh đ : Đ i s Lie c a nhóm Lie Poincaré G = O(3, 1) R4 là tích n a tr c ti p c a các đ i s Lie so(3, 1) ⊕π R4 , v i π : so(3, 1) → DerR4 là đ ng c u đ i s Lie xác đ nh b i π (X )x = Xx, ∀X ∈ so(3, 1), ∀x ∈ R4 . Ch ng minh. G i τ (g ) là vi phân c a τ (g, .) t i ph n t đơn v c a R4 . Do τ (g, .) : R4 → R4 là m t t đ ng c u nhóm Lie nên τ (g ) : R4 → R4 là t đ ng c u đ i s Lie c a R4 . Khi đó, ánh x τ : G → AutR (R4 ), g → τ (g ) là m t đ ng c u nhóm 15 và trơn nên τ là m t đ ng c u nhóm Lie. Đ i s Lie c a các nhóm Lie O(3, 1) và Aut(R4 ) l n lư t là so(3, 1) và Der(R4 ) nên dτ là m t đ ng c u đ i s Lie t so(3, 1) vào Der(R4 ). Theo đ nh nghĩa, đ i s Lie c a nhóm Poincaré G = O(3, 1) R4 là g = so(3, 1) ⊕dτ R4 . Ta s ch ng minh π = dτ . Th t v y, v i X là m t ph n t b t kì c a so(3, 1), ta có d d d dτ (X )(x) = τ (I + tX )(x) = (I + tX )x = (x + tXx) dt t=0 dt t=0 dt t=0 d = Xx, ∀x ∈ R4 . = tXx dt t=0 R4 . Do đó, dτ = π . Đ đơn gi n, ta s kí hi u g = so(3, 1) Xét tác đ ng c a nhóm SL(2, C) lên R4 b i các t đ ng c u xác đ nh b i ν : SL(2, C) × R4 → R4 , (g, x) → ψ (g )x. Khi đó, ta xác đ nh đư c tích n a tr c ti p SL(2, C) ×ν R4 . Phép nhân và phép ngh ch đ o trên G = SL(2, C) ×ν R4 cho b i (g, x)(g , x ) = (gg , ν (g −1 , x) + x ) = (gg , ψ (g −1 )x + x ) = (gg , (ψ (g ))−1 x + x ). (g, x)−1 = (g −1 , ν (g, −x)) = (g −1 , −ψ (g )x), ∀g, x), (g , x ) ∈ G. M t khác, tác đ ng τ c a nhóm Lorentz O(3, 1) lên R4 h n ch trên SO(3, 1)◦ c m sinh tích n a tr c ti p c a các nhóm Lie G◦ = SO(3, 1)◦ R4 := SO(3, 1)◦ ×τ R4 , v i G◦ là thành ph n liên thông c a nhóm Poincaré. Xét ψ : SL(2, C) → SO(3, 1)◦ là đ ng c u ph c a nhóm Lorentz liên thông H ◦ = SO(3, 1)◦ , v i SL(2, C) là nhóm ph đơn liên hai lá tương ng. Khi đó, ta có k t qu sau: 1.3. M nh đ :Ph ph d ng c a nhóm Poincaré liên thông SO(3, 1)◦ R4 là tích n a tr c ti p SL(2, C) ×ν R4 v i đ ng c u ph Ψ := ψ × I : SL(2, C) ×ν R4 → SO(3, 1)◦ R4 , (g, x) → (ψ (g ), x). Ch ng minh. Ta có SL(2, C) và R4 là các nhóm Lie đơn liên nên SL(2, C) ×ν R4 cũng đơn liên. Bây gi ta s ch ng minh Ψ là m t đ ng c u nhóm Lie. Th t v y, gi s (g, x), (g , x ) là hai ph n t b t kì c a SL(2, C) ×ν R4 , khi đó, ta có Ψ((g, x)(g , x )) = Ψ(gg , (ψ (g ))−1 x + x ) = (ψ (gg ), (ψ (g ))−1 x + x ) = (ψ (g )ψ (g ), (ψ (g ))−1 x + x ) 16 Ψ(g, x)Ψ(g , x ) = (ψ (g ), x)(ψ (g ), x ) = (ψ (g )ψ (g ), (ψ (g ))−1 x + x ). Suy ra Ψ((g, x)(g , x )) = Ψ(g, x)Ψ(g , x ), hay Ψ là m t đ ng c u nhóm. Do ψ và I là các toàn ánh nên Ψ cũng toàn ánh. Hơn n a, kerΨ = {(±I, 0)} ∼ Z2 . = Ta có SL(2, C) ×ν R4 đơn liên và Ψ là m t toàn c u nhóm Lie nên suy ra SL(2, C) ×ν R4 là nhóm ph ph d ng c a nhóm Poincaré liên thông G◦ = SO(3, 1)◦ R4 v i đ ng c u ph Ψ : SL(2, C) ×ν R4 → SO(3, 1)◦ R4 . Do kerΨ ∼ Z2 nên ph ph d ng này cũng là ph hai lá. = Đ đơn gi n khi vi t, ta s kí hi u SL(2, C) R4 thay cho nhóm Lie SL(2, C) ×ν R4 và đ i s Lie tương ng là sl(2, C) R4 thay cho sl(2, C) ⊕dν R4 . §2. Bi u di n x nh c a nhóm Poincaré R4 c a nhóm Lie Poincaré G = O(3, 1) R4 , ta có Xét đ i s Lie g = so(3, 1) k t qu sau: 2.1. M nh đ : H 2 so(3, 1) R4 = 0. Ch ng minh. Trư c h t chú ý r ng đ i s Lie c a nhóm Lorentz h = so(3, 1) là m t đ i s Lie n a đơn. L y ω : R4 × R4 → R là m t ph n t c a (∧2 (R4 )∗ )so(3,1) và xét tích trong Lorentz β trên R4 . Do β không suy bi n nên t n t i duy nh t m t ánh x tuy n tính T ∈ End(R4 ) sao cho ω (x, y ) = β (T x, y ), v i m i x, y ∈ R4 . Khi đó, v i m i X ∈ so(3, 1), x, y ∈ R4 , ta có 0 = Xω (x, y ) = ω (Xx, y ) + ω (x, Xy ) = β (T Xx, y ) + β (T x, Xy ). Suy ra ...