Bất đẳng thức Bernoulli

Bất đẳng thức Bernoulli là một trong những bất đẳng thức quen thuộc trong chương trình toán lớp 12. Nó thường được sử dụng để chứng minh nhiều bất đẳng thức khác. Vì vậy việc xây dựng va chứng minh bất đẳng thức này có ý nghĩa rất quan trọng. Bản thân bất đẳng thức này thường được chứng minh bằng cách sử dụng đạo hàm (hoặc có thể dùng phương pháp quy nạp).
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bất đẳng thức Bernoulli Bất đẳng thức Bernoulli Giảng viên hướng dẫn: TS.Nguyễn Minh Tuấn Sinh viên: Nguyễn Thanh Tuấn Lớp:K48A1S Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội Tóm tắt nội dung Bất đẳng thức Bernoulli là một trong những bất đẳng thức quen thuộc trong chương trình toán lớp 12. Nó thường được sử dụng để chứng minh nhiều bất đẳng thức khác. Vì vậy việc xây dựng va chứng minh bất đẳng thức này có ý nghĩa rất quan trọng. Bản thân bất đẳng thức này thường được chứng minh bằng cách sử dụng đạo hàm (hoặc có thể dùng phương pháp quy nạp). Trong bài tiểu luận này tôi xin trình bày một số vấn đề về bất đẳng thức Bernoulli: 1. Xây dựng và chứng minh bất đẳng thức Bernoulli. 2. Ứng dụng bất đẳng thức Bernoulli vào việc sáng tạo các bài toán mới.Mục lục1 Xây dựng và chứng minh bất đẳng thức Bernoulli 12 Ứng dụng bất đẳng thức Bernoulli vào việc sáng tạo các bài toán mới. 21 Xây dựng và chứng minh bất đẳng thức Bernoulli Ta luôn có: x2 + 1 ≥ 2x (∀x ∈ R) ⇔ x2 + (2 − 1) ≥ 2x (∀x ∈ R) Tổng quát: xα + (α − 1) ≥ αx . Đúng hay không ? Nếu đúng thì điều kiệncủa x của α là gì ? 1 Bất dẳng thức Bernoulli: Với mọi x>0: a. Khi 0 ≤ α ≤ 1, ta có: xα + (α − 1) ≤ αx b. Khi α ≤ 0 ∨ α ≥ 1, ta có: xα + (α − 1) ≥ αxChứng minh. Xét hàm số: f (x) = xα − αx + (α − 1) t2 Ứng dụng bất đẳng thức Bernoulli vào việc sáng tạo các bài toán mới.Bài toán 1. Cho α là một số thực nằm trong đoạn [0; 1]. Chứng minh rằng: 1 + α ≥ 2α ≥ 1 + α 2Chứng minh. Do α ∈ [0; 1] nên áp dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có: 2α + (α − 1) ≤ 2α ⇔ 2α ≤ α + 1 (1)Mặt khác, do 1 − α ∈ [0; 1] nên theo (1) ta có: 21−α + (1 − α − 1) ≤ 2(1 − α) ⇔ 21−α ≤ 2 − αTừ đó suy ra: 2 2α ≥ (2) 2−αBây giờ ta chứng minh: 2 ≥ 1 + α2 (3) 2−αThật vậy, dễ thấy bất đẳng thức (3) tương đương với bất đẳng thức đúngα(α − 1)2 ≥ 0Vậy: 1 + α ≥ 2α ≥ 1 + α2Bài toán 2. Cho α1 , α2 , α3 , . . . , αm (m ≥ 1) là các số thực không âm thỏamãn điều kiện α1 2 + α2 2 + · · · + αm 2 = 1.Chứng minh: 2α1 + 2α2 + · · · + 2αm ≥ m + 1Chứng minh. Thật vậy, từ α1 2 + α2 2 + · · · + αm 2 = 1 ta suy ra được: α1 ∈ [0; 1]; α2 ∈ [0; 1]; . . . ; αm ∈ [0; 1] 2Áp dụng bất đẳng thức 2α ≥ 1 + α2 lấn lượt cho α1 , α2 , α3 , . . . , αm (m ≥ 1)Ta có:2α1 ≥ 1 + α1 22α2 ≥ 1 + α2 2...2αm ≥ 1 + αm 2Cộng các bất đẳng thức trên vé theo vế ta được: 2α1 + 2α2 + · · · + 2αm ≥ 1 + 1 + · · · + 1 +(α1 2 + α2 2 + · · · + αm 2 ) mhay: 2α1 + 2α2 + · · · + 2αm ≥ m + 1 3