Bất đẳng thức Gagliardo - Nirenberg cho không gian có chuẩn sinh bởi hàm lõm

Bài viết Bất đẳng thức Gagliardo - Nirenberg cho không gian có chuẩn sinh bởi hàm lõm trình bày: Tìm bất đẳng thức Gagliardo - Niren- berg và một số bất đẳng thức đối với các đạo hàm suy rộng của hàm cho không gian có chuẩn sinh bởi hàm lõm,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bất đẳng thức Gagliardo - Nirenberg cho không gian có chuẩn sinh bởi hàm lõmBẤT ĐẲNG THỨC GAGLIARDO - NIRENBERG CHO KHÔNGGIAN CÓ CHUẨN SINH BỞI HÀM LÕMTRƯƠNG VĂN THƯƠNGTrường Đại học Sư phạm - Đại học HuếTóm tắt: Trong bài này chúng tôi tìm bất đẳng thức Gagliardo - Nirenberg và một số bất đẳng thức đối với các đạo hàm suy rộng của hàmcho không gian có chuẩn sinh bởi hàm lõm.1 GIỚI THIỆUBất đẳng thức đối với các đạo hàm suy rộng trong trường hợp một chiều đã đượcG. E. Shilov, A. N. Kolmogorov, H. H. Bang [2]và nhiều nhà toán học khác nghiêncứu và ứng dụng nó. Trường hợp nhiều chiều, bất đẳng thức đối vơí các đạo hàmđược rất nhiều nhà toán học quan tâm nhưng kết quả nhận được còn rất hạn chế.Bất đẳng thức Gagliardo - Nirenberg đã được [1] chứng minh cho các không gianLp (Rn ), [3] chứng minh cho các không gian Orlicz (không gian có chuẩn sinh bởihàm lồi [7]) và [6] chứng minh cho không gian có chuẩn sinh bởi hàm Young có dạngMs,k (t) = ts (ln(2 + t))k . Trong đề tài này chúng tôi tìm bất đẳng thức Gagliardo Nirenberg và một số bất đẳng thức đối với các đạo hàm suy rộng cho không gianNΦ (Rn+ ), không gian có chuẩn sinh bởi hàm lõm được giới thiệu bởi M. S. Steigerwaltvà A. J. White [8].2 KIẾN THỨC CHUẨN BỊGiả sử S ⊂ Rn , B là σ− đại số sinh bởi các tập Borel trên S và µ là độ đoLebesgue trên B và Φ : [0, +∞) −→ [0, +∞) là hàm lõm, không giảm thoả mãnΦ(0) = Φ(0+ ) = 0, Φ(t) 6≡ 0; kí hiệu C là tập hợp tất cả các Zhàm Φ. Kí hiệu NΦ (S)∞là tập hợp gồm các hàm đo được trên S thoả mãn điều kiệnΦ(λf (t))dt < ∞ và0Z ∞kf kNΦ (S) =Φ(λf (t))dt, trong đó λf (t) := µ{x ∈ S : |f (x)| > t}, (t ≥ 0).0Khi đó (NΦ (S), k.kNΦ ) là một không gian Banach (xem [8]).Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm HuếISSN 1859-1612, Số 02(18)/2011: tr. 5-136TRƯƠNG VĂN THƯƠNGVà MΦ (S) là tập hợp xác định như sauMΦ (S) := {f − đo được : kf kMΦ1= sup{Φ(µ(E))Z|f |dµ : µ(E) < ∞}},Ecũng là một không gian Banach (xem [8]).Dα f là đạo hàm suy rộng cấp |α| = α1 + α2 + . . . + αn với α = (α1 , α2 , . . . , αn ).Để chứng minh các bất đẳng thức liên quan đến các đạo hàm ta cần các kết quả sau:Bổ đề 2.1. [8] Nếu f ∈ NΦ (S) , g ∈ MΦ (S) thì f g ∈ L1 (S) vàZ|f (x)g(x)|dµ ≤ kf kNΦ (S) kgkMΦ (S)SBổ đề 2.2. [5] Nếu f ∈ NΦ (S) thìkf kNΦ (S) =ZsupkgkMΦ (S) ≤1|f (x)g(x)dµ|.SBổ đề 2.3. [9] Nếu f ∈ NΦ (Rn+ ) và với x ∈ Rn+ thìkf (. + x)kNΦ (Rn+ ) = kf kNΦ (Rn+ ) .Bổ đề 2.4. [1] Giả sử ` ≥ 2, f và các đạo hàm Dα f ∈ L∞ (Rn ), 0 < |α| = r ≤ `.Khi đóXX¢r1− r ¡kDα f k∞ ` ,kDα f k∞ ≤ Ckf k∞ `(1)|α|=r|α|=`với hằng số C không phụ thuộc hàm f .Trên cơ sở của các kết quả có được liên quan đến các không gian Lp và không gianOrlicz, chúng ta cũng chứng minh được một số bất đẳng thức liên quan đến đạo hàmsuy rộng trong không gian có chuẩn sinh bởi hàm lõm.3 CÁC KẾT QUẢ CHÍNHTừ những kết quả đã được nghiên cứu liên quan đến bất đẳng thức Gagliardo Nirenberg.Định lí 3.1. [9] Giả sử Φ ∈ C không bị chặn, f và các đạo hàm suy rộng Dβ f ∈NΦ (Rn ), |β| = `. Khi đó Dα f ∈ NΦ (Rn ), 0 < |α| < ` và|α|¡X¢ |α|1− `kDα f kNΦ (Rn ) ≤ Ckf kNΦ (RkDβ f kNΦ (Rn ) ` ,(2)n)|β|=`trong đó C không phụ thuộc f .7BẤT ĐẲNG THỨC GAGLIARDO - NIRENBERG...Kết quả trên có được với sự hạn chế là hàm Φ không bị chặn. Và kết quả sau đãkhắc phục được hạn chế trên. Tuy nhiên, khi xây dựng các hàm Fε nhờ vào tích chậpta phải xét trên toàn không gian Rn .Định lí 3.2. [3] Cho Φ ∈ C. Giả sử f và các đạo hàm suy rộng Dβ f ∈ NΦ (Rn ), |β| =`. Khi đó Dα f ∈ NΦ (Rn ), 0 < |α| < ` và1−|α|`kDα f kNΦ (Rn ) ≤ Ckf kNΦ (Rn)¡XkDβ f kNΦ (Rn )¢ |α|`,(3)|β|=`trong đó C không phụ thuộc f .Sau đây ta xét bất đẳng thức Gagliardo - Nirenberg cho trường hợp S = Rn+ .Định lí 3.3. Cho Φ ∈ C. Giả sử f và các đạo hàm suy rộng Dα f ∈ NΦ (Rn+ ), 0 <|α| ≤ `. Khi đó1−|α|`kDα f kNΦ (Rn+ ) ≤ Ckf kNΦ (Rn)¡X+kDβ f kNΦ (Rn+ )¢ |α|`,(4)|β|=`trong đó C không phụ thuộc f .Chứng minh. Với α, 0 < |α| < `. Lấy ε > 0 tùy ý. Theo Bổ đề 2.2 ta chọn hàmhε ∈ MΦ (Rn+ ) sao cho khε kMΦ(Rn ) ≤ 1 và+¯Z¯¯¯ε¯D f (x)hε (x)dx¯ > kDα f kNΦ (Rn+ ) − .2Rn+αnTheo Bổ đề 2.1 suy ra Dα f.hε ∈ L1 (Rn+ ), do đó tồn tại hình hộp K = π [ak , bk ] ⊂ Rn+k=1sao cho¯Z¯¯¯Dα f (x)h(x)dx¯ > kDα f kNΦ (Rn+ ) − ε,(5)¯Rn+trong đó h = χK hε .ZĐặt Fε (x) =f (x + y)h(y)dy . Khi đó theo Bổ đề 2.1 và Bổ đề 2.3 ta cóRn+¯Z¯|Fε (x)| = ¯Rn+¯ Z¯f (x + y)h(y)dy ¯ ≤|f (x + y)h(y)|dyRn+≤ kf (x + ·)kNΦ (Rn+ ) khkMΦ (Rn+ ) ≤ kf kNΦ (Rn+ ) ,(6)8TRƯƠNG VĂN THƯƠNGvì khkMΦ (Rn+ ) ≤ 1. Suy ra Fε (·) ∈ L∞ (Rn+ ).ZαTương tự ta cũng có D Fε (x) =Dα f (x + y)h(y)dy,0 ≤ |α| ≤ `, theo nghĩaRn+hàm suy rộng.Hơn nữa, với mỗi x ∈ Rn+ ta cóZαDα f (x + y)h(y)dy||D Fε (x)| = |Rn+≤ kDα f (x + ·)kNΦ (Rn+ ) khkMΦ (Rn+ ) ≤ kDα f kNΦ (Rn+ ) .(7)Vậy Dα Fε (·) ∈ L∞ (Rn+ ).Bây giờ ...