Bất đẳng thức qua các đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán của các trường, các tỉnh trên cả nước năm học 2014-2015

Tài liệu thông tin đến các bạn học sinh với 29 bài tập về bất đẳng thức từ các đề thi tuyển chọn học sinh giỏi từ năm 2014-2015 giúp các em học sinh có thêm tư liệu phục vụ cho học tập và ôn luyện kiến thức.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bất đẳng thức qua các đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán của các trường, các tỉnh trên cả nước năm học 2014-2015 TĂNG HẢI TUÂN Admin diễn đàn Vật lí phổ thông http://vatliphothong.vn BẤT ĐẲNG THỨC QUA CÁC ĐỀ THI CHỌN HSG MÔN TOÁNCỦA CÁC TRƯỜNG, CÁC TỈNH TRÊN CẢ NƯỚC NĂM HỌC 2014 - 2015 Hà Nội - 20151 Đề bàiBài 1. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn 3 (x4 + y 4 + z 4 ) − 7 (x2 + y 2 + z 2 ) + 12 = 0. Tìmgiá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 y2 z2 P = + + . y + 2z z + 2x x + 2y Chọn HSG Quốc gia, Yên Bái, 2014 - 2015Bài 2. Cho 2014 số thực dương a1 , a2 , ..., a2014 có tổng bằng 2014. Chứng minh rằng a20 a20 a20 1 11 + 2 11 + ... + 2014 ≥ 2014. a2 a3 a11 1 Chọn HSG Quốc gia, Cần Thơ, 2014 - 2015Bài 3. Tìm hằng số k lớn nhất với mọi a, b, c không âm thỏa mãn a + b + c = 1 thì bất đẳng thứcsau đúng a b c 1 2 + 2 + 2 ≥ . 1 + 9bc + k(b − c) 1 + 9ca + k(c − a) 1 + 9ab + k(a − b) 2 Chọn HSG Quốc gia, Hải Phòng, 2014 - 2015Bài 4. Cho các số thực x, y, z thay đổi thỏa mãn 4x + 4y + 4z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của S = 2x+2y + 2y+2z + 2z+2x − 2x+y+z Chọn HSG Quốc gia, Hải Dương, 2014 - 2015Bài 5. Cho các số x, y thỏa mãn: 0 < x ≤ 1, 0 < y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x5 + y + 4 y 4 − 2y 3 + x F = + . x y2 Chọn HSG Quốc gia, Cà Mau, 2014 - 2015Bài 6. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng 3 a3 b3 c3 (a + b + c) 2 + 2 + 2 ≥ . 1 + 9b ac 1 + 9c ba 1 + 9a cb 18 Chọn HSG Quốc gia, chuyên Quốc học Huế, 2014 - 2015Bài 7. Cho a, b, c là các số không âm, không có hai số nào trong các số đó đồng thời bằng không.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a(b + c) b(c + a) c(a + b) P = + 2 + 2 . a2 + bc b + ca c + ab Chọn HSG Quốc gia, Thanh Hóa, 2014 - 2015Bài 8. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có a(b + c) b(a + c) c(a + b) 6 + + ≤ . (b + c)2 + a2 (a + c)2 + b2 (a + b)2 + c2 5 Chọn HSG Quốc gia, Thái Bình, 2014 - 2015 1Bài 9. Cho x, y, z là các số không âm. Chứng minh rằng xyz + x2 + y 2 + z 2 + 5 ≥ 3 (x + y + z) . Chọn HSG Quốc gia, Chuyên Lê Quý Đôn - Ninh Thuận, 2014 - 2015Bài 10. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng (a + b − c)2 (a + c − b)2 (c + b − a)2 3 2 2 + 2 2 + 2 2 ≥ . (a + b) + c (a + c) + b (c + b) + a 5 Chọn HSG Quốc gia, Đăk Lăk, 2014 - 2015Bài 11. Chứng minh bất đẳng thức sau 3(x2 − x + 1)(y 2 − y + 1) ≥ 2(x2 y 2 − xy + 1), ∀x, y ∈ R.Dấu = xảy ra khi nào? ...