Các bài toán giải tích - Lê Văn Vịnh

Các bài toán giải tích của tác giả Lê Văn Vịnh tuyển tập các bài tập giải tích hay. Phần đầu có ôn tập lý thuyết, các bài tập thực hành và hướng dẫn giải chi tiết nhằm giúp các em học sinh học và ôn thi hiệu quả.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Các bài toán giải tích - Lê Văn Vịnh Lê Văn Vịnh   David_le@gmail.com fTUYỂN TẬP BÀI TOÁN GIẢI TÍCH HAYf    CácBàiToán GiảiTích    1 ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff Lê Văn Vịnh   David_le@gmail.com fTUYỂN TẬP BÀI TOÁN GIẢI TÍCH HAYf A:KIẾNTHỨCCẦNNHỚ  I) LÝTHUYẾTSỐDÃYSỐ. A) LÝTHUYẾTSỐ. i. Sốthực:ĐịnhNghĩa1.1: :ChoAlàtậpconkhôngrỗngcủatậpcácsốthực=(−∞,∞)sốthực x˛ R đượcgọilàmộtcậntrêncủaAnếu: a£ x, x˛ A. TậpAđượcgọilàbịchặntrênnếuAcóítnhấtmộtcậntrên v Sốthựcx˛ R đượcgọilàmộtcậndướicủaAnếu: a‡ x, a˛ A. TậpAđượcgọilàbịchặndướinếuAcóítnhấtmộtcậndưới. v TậpAđượcgọilàbịchặnnếuAvừabịchặntrênvàvừabịchặndưới,Abị chặnkhivàchỉkhitồntạix>0saocho: |a|£ x, a˛ A. ĐịnhNghĩa1.2 @:ChoAlàtậpconkhôngrỗngcủatậpcácsốthựcR =( ¥ ,¥ ) v Sốthựcx˛ R đượcgọilàgiátrịlớnnhấtcủaAnếu: x˛ A,a£ x, a˛ A. Taviết: x=max{a:a˛ A}=a v Sốthựcx˛ R đượcgọilàgiátrịbénhấtcủaAnếu: x˛ A,a‡ x, a˛ A. Khiđótaviết:x=min{a:a˛ A}=a. ĐịnhNghĩa1.3: @:ChoAlàtậpconkhôngrỗngcủatậpcácsốthựcR =( ¥ ,¥ ).GiảsửAbịchặntrên. v Sốthựcx˛ R đượcgọilàcậntrênđúngcủaA,nếuxlàmộtcậntrêncủaAvàlàcậntrênbénhấttrongtậpcáccậntrêncủaA,tứclà: a£ x, a˛ A. e >0,$ a˛ A,a>x e taviết: x=sup{a :a˛ A}=a. v ChoAlàtậpconkhôngrỗngcủatậpcácsốthựcR =( ¥ ,¥ ).GiảsửAbịchặndưới: Sốthựcx˛ R đượcgọilàcậndướiđúngcủaA,nếuxlàmộtcậndướicủaAvàlàcậndướilớnnhấttrongtậpcáccậndướicủaA,tứclà: a‡ x, a˛ A. ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff 2 Lê Văn Vịnh   David_le@gmail.com fTUYỂN TẬP BÀI TOÁN GIẢI TÍCH HAYf e >0,$ a˛ A,a Lê Văn Vịnh   David_le@gmail.com fTUYỂN TẬP BÀI TOÁN GIẢI TÍCH HAYf ={z=:x˛ A} thìtacó:sup(A.B)=supA.supB nếuinfA>0thì sup= khiinfA=0thìsup=+¥ .HơnnữanếuAvàBlàcáctậpsốthựcbịchặnthì sup(A.B)=max{supA.supB,supA.infB,infA.supBinfA.infB}.chứngminhgiảsửcảhaitậpbịchặntrên,đặta=supAvàb=supB.vìcácphầntửcủaAvàcủaBlàcácsốdươngnênxy£ abvớix˛ A,y˛ B.Tasẽchứngminhrằng:ablàcậntrênnhỏnhấtcủaA.B.Chotrướce >0,tồntạix*˛ Avày*˛ Bsaochox*>a e vày*>b e .Khiđóx*.y*>ab e (a+b e ).Vìe (a+b e )cóthểnhỏtùyývớie đủnhỏ,tathấyrằngbấtkỳsốnàonhỏhơnabkhôngthểlàcậntrêncủaA.B.Dođóab=sup(A.B).NếuAhoặcBkhôngbịchặntrênthìA.Bcũngkhôngbịchặn.Dođósup(A.B)=supA.supB=+¥ .(1) giảsửnếua=infA>0.Vớimọix˛ Atacóbấtđẳngthứcx‡ atươngđươngvới£ nênlàcậntrêncủa hơnnữa,vớie >0bấtkỳ,tồntạix*˛ Asaochox*0,tồntạix*˛ saocho x*>)dođósup=+¥ . BâygiờgiảsửA,Blàcáctậpbịchặncácsốthựcbấtkỳvàđặta=supAb=supB,a=infAvàb=infB.Nếuavàblàkhôngâmthìsdkếtquảởtrêntasuyrabấtđẳngthứccầnchứngminh.Nếua Lê Văn Vịnh   David_le@gmail.com fTUYỂN TẬP BÀI TOÁN GIẢI TÍCH HAYf ai aiđượcgọilàsốhạngthứnhaysốhạngtổngquátcủachuổi(A) Dãycáctổngriêngcủachuổi(A)đượcđịnhnghĩalà: sn=ak. n˛ N . snđượcgọilàtổngriêngthứncủachuỗi(A) Nóirằngchuỗi(A)hộitụvàcótổngbằngs,nếu: sn=s. Trongtrườnghợpnày,phầnđồngdưcủachuỗi(A)đượcđịnhnghĩalà rn=s  sn =ak, n ...