Các đại lượng trung bình của các số không âm - Bất đẳng thức AM GM

Tài liệu tham khảo Các đại lượng trung bình của các số không âm - Bất đẳng thức AM GM dành cho các bạn có nhu cầu học tập, ôn tập môn toán học.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Các đại lượng trung bình của các số không âm - Bất đẳng thức AM GMCÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH CỦA CÁC SỐ KHÔNG ÂM BẤT ĐẲNG THỨC AM − GM A. KIẾN THỨC CƠ BẢN I. CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH CỦA HAI SỐ KHÔNG ÂM • Với hai số không âm a, b. Kí hiệu: a+b A= là trung bình cộng của hai số a, b. 2 G = ab là trung bình nhân của hai số a, b. a +b 2 2 Q= là trung bình toàn phương của hai số a, b. 2 2 H= 1 1 + là trung bình điều hòa của hai số dương a, b.. a b Ta có bất đẳng thức Q ≥ A ≥ G ≥ H.  Chứng minh: a+b ( ) 2 Từ a �b ��− a 2 ab b 0 +− 0 ab hay A ≥ G (1) 2 ( a − b) 2 �� a 2 − 2ab + b 2 �� a 2 + b 2 � ab 0 0 2 a2 + b2 a +b hay + 2�+2�b 2 ) ( a b ) (a hay Q ≥ A 2 (2) 2 2 2 �1 1� 1 1 2 2 � � +��− Mặt khác � a � 0 ab 1 1 hay G ≥ H (3) � b� � a b ab + a b Kết hợp (1), (2), (3) ta có Q ≥ A ≥ G ≥ H. Dấu “=” trong các bất đẳng thức này đều xảy ra khi a = b. • Mở rộng ra cho n số không âm a1 , a2 , a3 ,..., an ta cũng có: a1 + a2 + a3 + ... + an A= là trung bình cộng của n số a1 , a2 , a3 ,..., an . n G= 1 2 3 n n a a a ...a là trung bình nhân của n số a1 , a2 , a3 ,..., an . a12 + a2 2 + a32 + ...an 2 Q= là trung bình toàn phương của n số a1 , a2 , a3 ,..., an . n n H= 1 1 1 1 + + + ��� là trung bình điều hòa của n số dương 1 2 3 a , a , a ,..., an . + a1 a2 a3 an Ta cũng có bất đẳng thức Q ≥ A ≥ G ≥ H. Dấu “=” xảy ra khi a1 = a2 = a3 = ... = an .Chú ý:  A, G, Q, H theo thứ tự là viết tắt của các từ arithmetic mean (trung bình cộng), geometric mean (trung bình nhân), quadratic mean (trung bình toàn phương) và harmonic mean (trung bình điều hòa).II. BẤT ĐẲNG THỨC AM − GMTheo phần I. thì ta đã có mối liên hệ giữa các đại lượng trung bình c ủa các s ốkhông âm: Q ≥ A ≥ G ≥ H. Trong đó, bất đẳng thức A ≥ G thường được sửdụng hơn cả và được gọi là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trungbình nhân hay bất đẳng thức AM-GM (gọi tắt là bất đẳng thức A-G). Cáchgọi tên này khá phổ biến ở nước ngoài, nhất là ở các nước Âu, Mỹ. Ở ViệtNam, người ta vẫn quen gọi là bất đẳng thức Cauchy (Cô-si). Đây là một cáchgọi sai lầm vì bất đẳng thức này không phải do Cauchy phát hiện ra mà thực raông chỉ là người đưa ra phép chứng minh bất đẳng thức này b ằng phươngpháp quy nạp kiểu Cauchy. Cách chứng minh này rất hay và nổi tiếng, đếnnỗi nhiều người lầm tưởng Cauchy là người phát hiện ra bất đẳng thức này.• Nội dung của bất đẳng thức này như sau: a1 + a2 + a3 + ... + an Với n số không âm a1 , a2 , a3 ,..., an ta có: n a1a2 a3 ...an n Dấu “=” xảy ra ⇔ a1 = a2 = a3 = ... = an .• Hệ quả: Ta có một số bất đẳng thức rất quen thuộc và là hệ quả của bất đẳng thức AM-GM như sau: ( a + b) 2 1. a 2 + b2 �� 2ab a 2 + b 2 �� 2ab 2 ...