Các nghiệm không bị chặn của phương trình logistic và dáng điệu tiệm cận của chúng

Bài báo xét phương trình logistic chứa toán tử p-Laplace và hàmtrọng m(x) q m x Lq với q nhỏ. Các tác giả chứng minh sự tồn tại các nghiệm yếu lớn nhất (có thể không bị chặn) và nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của chúng. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Các nghiệm không bị chặn của phương trình logistic và dáng điệu tiệm cận của chúngCreated by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)http://www.simpopdf.comTạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCMNguyễn Bích Huy, Trần Đình Thanh_____________________________________________________________________________________________________________CÁC NGHIỆM KHÔNG BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNHLOGISTIC VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CHÚNGNGUYỄN BÍCH HUY *, TRẦN ĐÌNH THANH **TÓM TẮTTrong bài báo chúng tôi xét phương trình logistic chứa toán tử p-Laplace và hàmtrọng m( x) Î Lq với q nhỏ. Chúng tôi chứng minh sự tồn tại các nghiệm yếu lớn nhất (cóthể không bị chặn) và nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của chúng.ABSTRACTUnbounded solutions of the logistic equation and their asymptotic behaviorsIn the paper we consider the logistic equation involving the p-Laplace operator andthe weight function m( x) Î Lq with small q. We prove the existence of maximal weaksolutions (may be unbounded) and study their asymptotic behaviors.Mở đầuTrong bài báo này, chúng tôi xét sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệmlớn nhất, không bị chặn của phương trình logistic sau:1.-D p u = l m( x)ua - u b trong W, u = 0 trên ¶W ,trong đó W Ì R N là miền bị chặn, có biên trơn, D p u = div( Ñu(1)p-2Ñu ) là toán tửp_Laplace, m( x) Î Lq (W) với q thích hợp và a £ p - 1 < b .Khi hàm m( x) là hằng số và toán tử -D p u được thay bằng một toán tử tuyếntính elliptic bậc 2 thì với mỗi l ³ l0 bài toán (1) có duy nhất nghiệm trơn và dángđiệu tiệm cận của nghiệm được nghiên cứu trong [3]. Khi q đủ lớn thì (1) có duynhất nghiệm bị chặn (thuộc W01,2 Ç L¥ ) và sự phụ thuộc của nghiệm vào tham số lcó thể nghiên cứu bằng phương pháp của [4]. Khi q nhỏ nghiệm của (1) có thểkhông bị chặn và không duy nhất, do đó việc nghiên cứu sự phụ thuộc của nghiệmtheo tham số trở nên phức tạp. Trong [6] chúng tôi đã chứng minh sự tồn tại nhánhliên tục không bị chặn trong tập nghiệm của (1) khi p = 2 và q nhỏ. Trong bài này,chúng tôi sẽ nghiên cứu sự tồn tại của nghiệm lớn nhất (khi l cố định), có thểkhông bị chặn và dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi l ® 0 hoặc l ® ¥ .2.***Các kết quả được sử dụngPGS TS, Khoa Toán – Tin học, Trường Đại học Sư phạm TP HCMTS, Trường Đại học Y Dược TP HCM3Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)http://www.simpopdf.comSố 21 năm 2010Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM_____________________________________________________________________________________________________________2.1. Phương trình không gian có thứ tựCho X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K. Ta nói ánh xạF : M Ì X ® X là tăng nếu u, v Î M , u £ v thì F (u ) £ F (v) .Định lý A [5]Cho X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón, M Ì X là tập đóng,F : M ® M là ánh xạ tăng thỏa mãn các điều kiệnTập M 0 = {u Î M : u £ F (u )} ¹ f và có tính chấtu, v Î M 0 , $w Î M 0 : u £ w, v £ w .(i)(ii) Nếu {un } Ì M 0 là dãy tăng thì dãy {F (un )} hội tụ.Khi đó F có điểm bất động lớn nhất trong M.2.2. Nghiệm yếu của một lớp phương trình elliptic tựa tuyến tínhGiả sử W Ì R N là miền bị chặn, có biên trơn, D p u là toán tử p-Laplace với1 < p < N và f : W ´ R ® R là hàm thỏa điều kiện Caratheodory. Ta xét bài toánbiên sau:(2)-D p u = f ( x, u ) trong W , u = 0 trên ¶WTa xét các không gian W01, p (W), Lp (W) thông thường, chuẩn trong chúng đượcký hiệu tương ứng là . và . p . Đặt p* =pNpvà p =. Dưới đây các tíchN-pp -1phân đều được lấy trên W .Định nghĩa:1)*Ta nói hàm u Î W01, p (W) là nghiệm yếu của (2) nếu f ( x, u ) Î L( p ) (W)* vàò Ñu2)p-2ÑuÑj = ò f ( x, u )j , j Î W01, p (W)(3)*Ta nói hàm u0 Î W01, p (W) là một nghiệm dưới của (2) nếu f ( x, u0 ) Î L( p ) (W) ,ò Ñup-20Ñu0 Ñj £ ò f ( x, u0 )j ,j Î W01, p (W), j ³ 0và u0 £ 0 trên ¶W theo nghĩa vết.Định lý B [2]Giả sử hàm g : W ´ R ® R thỏa điều kiện Caratheodory và(i)g ( x, 0) = 0, g ( x, u ) tăng theo biến u(ii)t > 0, $jt Î L1 (W) : sup | g ( x, u ) |£ jt ( x) .|u|£t4x Î WCreated by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)http://www.simpopdf.comTạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCMNguyễn Bích Huy, Trần Đình Thanh_____________________________________________________________________________________________________________Khi đó với mỗi h Î W -1, p (W) tồn tại duy nhất hàm z Î W01, p (W) sao chog ( x, z ) Î Lloc (W), g ( x, z ).z Î L1 (W) vàò | Ñz |p-2ÑzÑj + ò g ( x, z )j = ò hj(4)đúng cho mọi j Î C0¥ (W) và j = z .Ghi chú 1:1) Nếu hàm z nói trong định lý B thỏa thêm điều kiện g ( x, z ) Î L( p*) (W) thì (4)cũng đúng cho mọi j Î W01, p (W) do tập C0¥ (W) trù mật trong W01, p (W) . Do đó z cũnglà nghiệm yếu của bài toán-D p u + g ( x, u ) = h trên W , u = 0 trên ¶W .2)Dưới đây, để ngắn gọn ta sẽ kí hiệu vế trái của (3) là < Au, j >3.Kết quả chínhTa xét phương trình (1) với các giả thiết sau:(H1) m( x) ³ 0, m( x) Î Lq (W) với q > 1 thích hợp và tồn tại miền trơn W Í W , tồntại số m0 > 0 sao cho m( x) ³ m0x Î W (H2) a < b £ p * -1Đầu tiên ta sẽ đưa bài toán (1) về bài toán tìm điểm bất động của một ánh xạtăng trong không gian có thứ tự.1+ b> ( p*) , do đó nếu z1+ b Î L1 (W) thì z b Î L( p*) (W) .Do điều kiện (H2) ta cóbÁp dụng định lý B và ghi chú 1 cho hàm g ( x, u ) = u b ta có với mọih Î L( p*) (W) Ì W -1, p (W) tồn tại duy nhất hàm z Î W01, p (W) thỏa z Î L1+ b (W) và< Az, j > + ò z b j = ò hjj Î W01, p (W)(5)Gọi P là ánh xạ đặt tương ứng mỗi h Î L( p*) (W) với nghiệm z của (5) thì P cócác tính chất sau [4](a)P (h) Î W01, p (W) Ç L1+ b (W) , P là ánh xạ tăng.Nếu M là một tập bị chặn trong L( p*) (W) thì P(M) là một tập bị chặn trongW01, p (W) và do đó là tập compắc tương đối trong Lg (W) với g < p * .(b)(c)P liên tục nếu p ³ 2 .Giả sử số r ³ 1 thỏa điều kiện5Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)http://www.simpopdf.comSố ...