Dáng điệu tiệm cận nghiệm bị chặn của phương trình khuếch tán bậc phân số

Bài viết đưa ra việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các nghiệm của phương trình khuếch tán bậc phân số có dạng Dα C u(t) = ∆u(t) + f(t) với t ∈ [0;+∞ ) trong đó Dα C u(t) là đạo hàm của hàm u theo nghĩa Caputo, là toán tử Laplace trên không gian X=L2 (Ω) và f là hàm bị chặn đa thức.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Dáng điệu tiệm cận nghiệm bị chặn của phương trình khuếch tán bậc phân sốTẠP CHÍ KHOA HỌC – ĐẠI HỌC TÂY BẮC Nguyễn Thanh Tùng & Lê Văn Kiên (2021)Khoa học Tự nhiên và Công nghệ (22): 1 - 6 DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN BẬC PHÂN SỐ Nguyễn Thanh Tùng, Lê Văn Kiên Trường Đại học Tây Bắc Tóm tắt: Bài báo đưa ra việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các nghiệm của phương trình khuếch tán bậc αphân số có dạng DC u (t ) =∆u (t ) + f (t ) với t ∈ [0; +∞) trong đó DCα u (t ) là đạo hàm của hàm u theo nghĩaCaputo, là toán tử Laplace trên không gian X=L2 (Ω) và f là hàm bị chặn đa thức. Kết quả chính khẳng địnhrằng nếu u là nghiệm nhẹ của bài toán Cauchy nếu thỏa mãn các điều kiện liên tục đều bị chặn trong BUC(R+,X)với chuẩn có trọng đa thức thì hội tụ về không trong không gian này, và thỏa mãn một số điều kiện ergodic. Kếtquả thu được mở rộng một số kết quả đã biết về tính ổn định của các nghiệm đối với phương trình khuếch tán bậcphân số. Toán tử ∆ là toán tử cụ thể ứng dụng trong liên tục đều nếu nó liên tục và[7] để nghiên cứu các Phương trình khuếch tán,có nhiều ứng dụng trong Lý thuyết phươngtrình đạo hàm riêng. Chúng tôi chỉ ra trường n − hàm f liên tục trên  + có giá trị tronghợp cụ thể này như một bức tranh minh họa về X được ký hiệu bởi BUCn ( + , X ). Khôngphổ và giải thức về toán tử Laplace trong trường gian này cùng với chuẩn xác định bởi (2) làhợp này là rời rạc đếm được vì vậy điều kiện không gian Banach (xem [7, Bổ đề 2.3]).về phổ của nó giao với trục ảo là đếm được. Ví dụ 1.1. Cho f ∈ BCn ( + , ) . Nếu đạoChúng tôi sử dụng ký hiệu ,  + , ,  tương hàm f ′ ∈ BCn ( + , ) thì f ∈ BUCn ( + , ).ứng là tập số thực, tập số thực không âm, tập sốphức và không gian Banach thực (hoặc phức). Ký hiệuTrong trường hợp không làm thay đổi kết quả,ta sử dụng ký hiệu J là tập hợp thay cho  +hoặc  . Ta chứng minh được rằng C0,n ( + , ) là Với mỗi n ∈ , kí hiệu BCn ( + , X ) là một không gian con đóng BUCn ( + , ) vàkhông gian các hàm f liên tục trên  + có giá bất biến theo nửa nhóm dịch chuyển {S (t )}t ≥0 .trị trong không gian Banach X thỏa mãn Định nghĩa 1.1 Hàm Gamma Γ là hàm được xác định bởi hệ thức ∞ ∫ e x dx. − x p −1 BCn ( + , X ) cùng với chuẩn xác định (1) Γ( p ) = 0là không gian định chuẩn. Ở đó p là một số thực bất kỳ. + Ta nói rằng, hàm f :  → X là n − hàm Từ Định nghĩa 1.1 ta có Γ(1) = 1, ( z + 1) =Γ Γ(2) =Γ z ( z ), Γ(n) =(n − 1)!, n ∈ , 1 1 π Γ( )= π , Γ(n + )= (2n − 1)!, n ∈ . 2 2 2n 1.1 Đạo hàm theo nghĩa Caputo phân số Riemann-Liouville cấp α của hàm Định nghĩa.1.2 Cho trước một số thực f :[a, b] →  được cho bởidương α và [a, b] ⊂ . Đạo hàm bậc 1 RL t0 Dtα f (t ) := d n n −α [ dt n 0 I t f (t )] = 1 ⋅ dn Γ(n − α ) dt n ( ∫ (t − s) t t0 n −α −1 ) f ( s )ds , trong đó n := [α ] là số nguyên nhỏ nhất lớn dn t −α hơn hoặc bằng α và là đạo hàm thông hàm f (t ) : RL 0 α ...