Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức: Phần 2 - Nguyễn Tất Thu

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 tài liệu "Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức" sẽ cung cấp tới người học về đáp số và hướng dẫn giải các bài toán về chứng minh bất đẳng thức. Thông qua việc tham khảo và luyện tập giải bài, các em học sinh sẽ nắm vững nội dung bài học và có phương pháp học tập hiệu quả. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức: Phần 2 - Nguyễn Tất Thu2. BÀI TOÁN TÌM HẰNG SỐ TỐT NHẤT TRONG BẤT ĐẲNG THỨC ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 85Chương 1Các bất đẳng thức cổ điển §1. Bất đẳng thức AM-GMCâu 1.1. a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với s s 1.1.1 abc 3 + 3 ≤ 1. (1 + a) (1 + b) (1 + c) (1 + a) (1 + b) (1 + c) Đặt : s s 1.1.1 abc T = 3 + 3 (1 + a) (1 + b) (1 + c) (1 + a) (1 + b) (1 + c) 1 1 1 1 1 a b c T ≤ + + + + + 3 1+a 1+b 1+c 3 1+a 1+b 1+c 1 a+1 b+1 c+1 1 T ≤ + + = .3 = 1 3 1+a 1+b 1+c 3 Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c ≥ 0. b) Ta có a b c 1+ 1+ 1+ b c a a b c a c b =2+ + + + + + b c a c b a a+b b+c c+a = +1 + +1 + +1 −1 c a b 1 1 1 = (a + b + c) + + −1 a b c 3(a + b + c) 2(a + b + c) ≥ √3 −1≥ √ 3 + 2. abc abcCâu 1.2. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a1 a2 · · · an r 1 p + n ≤ 1. (1) n (1 + a1 )(1 + a2 ) · · · (1 + an ) (1 + a1 )(1 + a2 ) · · · (1 + an )Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 1 1 1X 1 1 X ai V T (1) ≤ + = 1. n i=1 1 + ai n i=1 1 + ai 861. BẤT ĐẲNG THỨC AM-GMBài toán được chứng minh. 3 a+b+c 1Câu 1.3. Ta có abc ≤ = . 3 27Khi đó 3 1 1 1 1 1+ 1+ 1+ ≥ 1+ √ 3 ≥ 64. a b c abcSuy ra (1 + a) (1 + b) (1 + c) ≥ 64abc.Câu 1.4. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với s · · · b1 b2 · · · bn r a a 1 2 a n n + n ≤ 1. (1) (a1 + b1 )(a2 + b2 ) · · · (an + bn ) (a1 + b1 )(a2 + b2 ) · · · (an + bn )Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có · · · r a 1 a 2 a n 1 a 1 a n n ≤ + ··· + (a1 + b1 )(a2 + b2 ) · · · (an + bn ) ...