Các phương pháp giải phương trình hàm thường dùng tham khảo

" Các phương pháp giải phương trình hàm thường dùng " mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi, với phương pháp giải hay, thú vị, rèn luyện kỹ năng giải đề, nâng cao vốn kiến thức cho các bạn trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Các phương pháp giải phương trình hàm thường dùng tham khảo CÁC PHƯƠNG PHÁP GI I PHƯƠNG TRÌNH HÀM THƯ NG DÙNGPhương pháp 1: H s b t ñ nh.Nguyên t c chung:+) D a vào ñi u ki n bài toán, xác ñ nh ñư c d ng c a f(x), thư ng là f(x) = ax + b ho cf(x) = ax2+ bx + c.+) ð ng nh t h s ñ tìm f(x).+) Ch ng minh r ng m i h s khác c a f(x) ñ u không th a mãn ñi u ki n bài toán.Ví d 1: Tìm f : R → R th a mãn: f ( x f ( y ) + x ) = xy + f ( x ) ∀x, y ∈ R (1) .L i gi i: x = 1Thay  vào (18) ta ñư c: f ( f ( y ) + 1) = y + f (1) ( a ) . y∈R ( )Thay y = − f (1) − 1 vào (a) suy ra: f f ( − f (1) − 1) + 1 = −1 . ð t a = f ( − f (1) − 1) + 1 tañư c: f ( a ) = −1 . y = aCh n  ta ñư c: f ( x f ( a ) + x ) = xa + f ( x ) ⇒ xa + f ( x ) = f ( 0 ) . x ∈ Rð t f ( 0 ) = b ⇒ f ( x ) = −a x + b . Th vào (1) và ñ ng nh t h s ta ñư c: a = 1 a 2 = 1   f ( x) = x  ⇒   a = −1 ⇒   . − a b − a = −a   f ( x) = −x  b = 0V y có hai hàm s c n tìm là f ( x ) = x và f ( x ) = − x .Ví d 2: Tìm f : R → R th a mãn: f ( f ( x ) + y ) = y f ( x − f ( y ) ) ∀x, y ∈ R ( 2 ) .L i gi i:Cho y = 0; x ∈ R : (2) ⇒ f ( f ( x ) ) = 0 ∀x ∈ R ( a ) . ( )Cho x = f ( y ) : (2) ⇒ f f ( f ( y ) ) + y = y f ( 0 ) ( a ) .( a ) + ( a ) ⇒ f ( y ) = y f ( 0) . ð t f ( 0 ) = a ⇒ f ( y ) = ay ∀y ∈ R . Th l i (2) ta ñư c: a 2 ( x 2 + y 2 ) + a ( y − x y ) = 0 ∀x, y ∈ R ⇔ a = 0 ⇒ f ( x ) = 0 ∀x ∈ R . V y có duy nh t hàm s f ( x ) = 0 th a mãn bài toán.Ví d 3: Tìm f , g : R → R th a mãn: 2 f ( x ) − g ( x ) = f ( y ) − y ∀x, y ∈ R  (a)  .  f ( x) g ( x) ≥ x +1  ∀x ∈ R (b )L i gi i:Cho x = y ∈ R khi ñó ( a ) ⇒ f ( x ) = g ( x ) − x .Thay l i (a) ta ñư c: 1g ( x ) = 2 x − 2 y + g ( y ) ∀x, y ∈ R (c).Cho y = 0; x ∈ R : t (c) ta ñư c: g ( x ) = 2 x + g ( 0 ) . ð t g ( 0 ) = a ta ñư c: g ( x ) = 2 x + a , f ( x ) = x + a . Th vào (a), (b) ta ñư c: 2 x + a = 2 x + a  (a), (b) ⇔  ( ∀x ∈ R ) ⇔ 2 x 2 + ( 3a − 1) x + a 2 − 1 ≥ 0 ∀x ∈ R (  x + a )( 2 x + a ) ≥ x + 1 2 ⇔ ( a − 3) ≤ 0 ⇔ a = 3 . V y f ( x ) = x + 3 ; g ( x ) = 2 x + 3 .Ví d 4: ða th c f(x) xác ñ nh v i ∀x ∈ ℝ và th a mãn ñi u ki n: 2 f ( x ) + f (1 − x ) = x 2 , ∀x ∈ ℝ (1). Tìm f(x).L i gi i:Ta nh n th y v trái c a bi u th c dư i d u f là b c nh t: x, 1 – x v ph i là b c hai x2.V y f(x) ph i có d ng: f(x) = ax2 + bx + c.Khi ñó (1) tr thành: 2(ax2 + bx + c) + a(1 – x)2 + b(1 – x) + c = x2 ∀x ∈ ℝ do ñó:3ax2 + (b – 2a)x + a + b + 3c = x2, ∀x ∈ ℝ  1 a = 3 3a = 1    2ð ng nh t các h s , ta thu ñư c: b − 2a = 0 ⇔ b = a + b + 3c = 0  3   1 c = − 3  1V y: f ( x) = ( x 2 + 2 x − 1) 3Th l i ta th y hi n nhiên f(x) th a mãn ñi u ki n bài toán.Ta ph i ch ng minh m i hàm s khác f(x) s không th a mãn ñi u ki n bài toán:Th t v y gi s còn hàm s g(x) khác f(x) th a mãn ñi u ki n bài toán.Do f(x) không trùng v i g(x) nên ∃x0 ∈ ℝ : g ( x0 ) ≠ f ( x0 ) .Do g(x) th a mãn ñi u ki n bài toán nên: 2 g ( x) + g (1 − x) = x 2 , ∀x ∈ ℝThay x b i x0 ta ñư c: 2 g ( x0 ) + g (1 − x0 ) = x0 2Thay x b i 1 –x0 ta ñư c: 2 g (1 − x0 ) + g ( x0 ) = (1 − x0 ) 2 1T hai h th c này ta ñư c: g ( x0 ) = ( x0 2 + 2 x0 − 1) = f ( x0 ) 3ði u này mâu thu n v i g ( x0 ) ≠ f ( x0 ) 1V y phương trình có nghi m duy nh t là f ( x) = ( x 2 + 2 x − 1) 3 2Nh n xét: N u ta ch d ñoán f(x) có d ng nào ñó thì ph i ch ng minh s duy nh t c a cáchàm s tìm ñư c.Ví d 5: Hàm s y = f(x) xác ñ nh, liên t c v i ∀x ∈ ℝ và th a mãn ñi u ki n: f(f(x)) = f(x) + x, ∀x ∈ ℝHãy tìm hai hàm s như th .L i gi i:Ta vi t phương trình ñã cho dư i d ng f(f(x)) – f(x) = x (1).V ph i c a phương trình là m t hàm s tuy n tính vì v y ta nên gi s r ng hàm s c n tìmcó d ng: f(x) = ax + b.Khi ñó (1) tr thành: a( ax + b) + b – (ax + b) = x , ∀x ∈ ℝ hay (a2 –a )x + ab = x, ∀x ∈ ℝ   a 2 − a = 1 a = 1 + 5 a = 1 − 5 1± 5ñ ng nh t h s ta ñư c:  ⇔ 2 ∨ 2 ⇒ f ( x) = x. ab = 0 b = 0 b = 0 2  Hi n nhiên hai hàm s trên th a mãn ñi u ki n bài toán (vi c ch ng minh s duy nh t dànhcho ngư i ñ c).Ví d 6: Hàm s f : ℤ → ℤ th a mãn ñ ng th i các ñi u ki n sau: a ) f ( f ( n)) = n, ∀n ∈ ℤ (1) b) f ( f (n + 2) + 2) = n, ∀n ∈ ℤ (2) c) f (0) = 1 (3)Tìm giá tr f(1995), f(-2007).L i gi i:Cũng nh n xét và lý lu n như các ví d trư c, ta ñưa ñ n f(n) ph i có d ng: f(n) = an +b.Khi ñó ñi u ki n (1) tr thành: a 2 n + ab + b = n, ∀n ∈ ℤ ...