Căn bản về bất đẳng thức trình bày theo cách riêng

Căn bản về bất đẳng thức trình bày theo cách riêng tập trung trình bày các bài học chính về phần nguyên của một số bất kỳ; các bất đẳng thức kinh điển, quan trọng ứng dụng giải một số bài toán hay; các bất đẳng thức liên quan tới thừa mũ hữu tỷ hoặc mũ vô tỷ;…
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Căn bản về bất đẳng thức trình bày theo cách riêng 1 CĂN BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRÌNH BÀY THEO CÁCH RIÊNGBÀI 1 PHẦN NGUYÊN CỦA MỘT SỐ BẤT KỲ Việc tiếp thu khái niệm “phần nguyên” của một số rất dễ dàng. Song le các bài toánliên quan tới nó lại khá xa lạ ( nếu không nói là khó) với nhiều học sinh!1.1/ĐỊNH NGHĨA PHẦN NGUYÊN CỦA SỐ BẤT KỲ x (ký hiệu [x]) Ta gọi phần nguyên của số bất kỳ x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Từ địnhnghĩa ta có đánh giá: [x] ≤ x. (a) Mặt khác vì [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x nên ta có đánh giá thứ hai: x < [x] + 1 (b)Kết hợp (a) và (b) ta có BĐT xác định phần nguyên [x] của x như sau: [x] ≤ x < [x] + 1 17ví dụ: 3 <  < 4; 5 < < 6; -2 < - 2 < -1; 7=7 2Lt2: Tìm phần nguyên của số x xác định bởi biểu thức sau: 1 1 1 1 1 x = 1+ + + + +...+ 2 3 4 5 1000000Giải: Tuy bài toán này chỉ khác bài toán trên về số lượng các hạng tử và các hạng tử từ thứ6 trở đi, song ta không thể dùng cách trên để tìm phần nguyên của x được. Để giải bài trên ta xét dãy tổng quát bởi cách thay 1000000 bằng n: 1 1 1 1 1 x = 1+ + + + +...+ (*) 2 3 4 5 nvà chứng minh bổ đề sau:Bổ đề. Với mọi n nguyên dương ta có BĐT 1 2 n 1 - 2 n < < 2 n - 2 n  1 (1) nQuả vậy, dễ thấy rằng2 n 1 - 2 n = 2  n 1  n  n 1  n  2 và vì n 1 > n nên n 1  n n 1  n 2 12 n 1 - 2 n < =  vế trái của BĐT (1) đã được chứng minh (viết tắt: đcm) 2 n nVế phải của (1) chứng minh bằng cách tương tự.Trong dãy (*) ta xét n từ 2, 3, 4, … , đến n. Dùng BĐT (1) của bổ đề ta có: 1 2 32 2 < < 2 2 2 2 2 2 1 2 4 2 3 < < 2 32 2 3 1 2 52 4 < < 2 4 2 3 4 ........................ 1 2 n 1 - 2 n < < 2 n - 2 n 1 nCộng vế đối vế các BĐT trên ta được: 3 1 1 1 1 1 2 n 1 - 2 2 < + + + +...+ < 2 n -2 2 3 4 5 nĐể xuất hiện BĐT (*) ta thêm 1 vào tất cả các vế của BĐT vừa nhận được trên đây: 1 1 1 1 1 2 n  1 - 2 2 + 1 < 1+ + + + +...+ < 2 n - 2 +1 (2) 2 3 4 5 nVì 2 2 < 3 và n  1 > n nên từ BĐT (2) suy ra: 1 1 1 1 1 2 n - 2 < 1+ + + + +...+ < 2 n -1 (3) 2 3 4 5 nĐến đây, ta trở lại yêu cầu của bài toán: tìm phần nguyên của biểu thức x: 1 1 1 1 1 x = 1+ + + + +...+ 2 3 4 5 1000000bằng cách thay n=1000000 vào (3) ta được: 1 1 1 1 1 2 1000000 - 2 < 1+ + + + +...+ < 2 1000000 - 1 2 3 4 5 n 1 1 1 1 1 1998 < x=1+ + + + +...+ < 1999 2 3 4 5 1000000Từ đó suy ...