Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp PTM

Tài liệu Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp PTM được biên soạn với các nội dung: Nội dung phương pháp, các ví dụ, một số bất đẳng thức. Để hiểu rõ hơn về nội dung chi tiết mời các bạn cùng tham khảo tài liệu. Hi vọng tài liệu sẽ là nguồn tư liệu bổ ích cho các bạn trong quá trình học tập.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp PTMBẠNĐỌCTÌMTÒICHỨNGMINHBẤTĐẲNGTHỨCBẰNGPHƯƠNGPHÁPPTMKiềuĐìnhMinh(Gv.THPT.ThanhBa,PhúThọ)ĐT:0989.848.965Hiệnnaycórấtnhiềuphươngphápchứngminhbấtđẳngthứchayvàhiệuquả.Trong quátrìnhlàmtoántácgiả đãbắtgặpmộtphươngphápchứngminhbấtđẳngthứcmà theo tác giả là mới lạ. Tác giả tạm gọi là phương pháp PTM ( viết tắt của :PerpendicularTetrahedronMethod),nghĩalàPhươngphápTứdiệnvuông.XingiớithiệucùngbạnđọcI.NỘIDUNGPHƯƠNGPHÁPGiảsửcầnchứngminhmộtbấtđẳngthứcđạisốcóbabiến a, b, c 0Khiđótalàmnhưsau:+)DựngTứ diện OABC vuôngtại O có OA a , OB b , OC c .Gọi A, B, C làbagóccủatamgiác ABC ,thếthì AB 2 AC 2 BC 2 a b a c b c acos A 2 AB. AC 2 (a b)(a c) (a b)(a c ) ab bc ca ab bc casin A 1 co s 2 A tan A (a b)(a c) aTươngtựcũngcó b ab bc ca ab bc cacos B ; sin B ; tan B (b a )(b c) (b a )(b c) b c ab bc ca ab bc cacos C ; sin C ; tan C (c a )(c b) (c a )(c b) c+)Đưabấtđẳngthứcđạisốđãchovềbấtđẳngthứclượngtrongtamgiác,chứngminh bấtđẳngthứclượnggiácđó.Từđósuyrađượcbấtđẳngthứccầnchứngminh*Chúý:Tamgiác ABC làtamgiácnhọnII.CÁCTHÍDỤThídụ1.Cho a, b, c 0 : ab bc ca (a b)(b c)(c a)Chứngminhrằng a b c 3 3 (*) a b b c c a 4LờigiảiTừgiảthiết a, b, c 0 : ab bc ca (a b)(b c)(c a) tabiếnđổi (*) nhưsau a ab bc ca b ab bc ca c ab bc ca 3 3(*) a b ( a b)(b c )(c a) b c (a b)(b c)(c a ) c a (a b)(b c )(c a) 4 a ab bc ca b ab bc ca c ab bc ca 3 3 (**) (a b)(a c) (b a )(b c) (b a )(b c) (c b)(c a ) (c a )(c b) (a b)(a c) 4DựngTứdiện OABC vuôngtại O có OA a , OB b , OC c .Gọi A, B, C làbagóccủatamgiác ABC (tamgiác ABC nhọn),thếthì AB 2 AC 2 BC 2 a b a c b c a ab bc cacos A sin A 1 cos 2 A 2 AB. AC 2 (a b)(a c) ( a b)(a c) (a b)(a c )Tươngtựcũngcó b ab bc ca c ab bc cacos B sin B cos C sin C (b a )(b c) (b a )(b c) (c a )(c b) (c a)(c b)Khiđó (**) trởthành sin A cos C sin C cos B sin B cos A 3 3 (* * *) 4Nhận xét rằng với 0 x thì f ( x) sin x 1 sin 2 x 3 3 . Thật vậy 2 2 4 3 3 f ( x) cos x cos 2 x, f ( x) (cos x 1)(2 cos x 1) 0 0 x f ( x) f( ) ...