Chứng minh đẳng thức tổ hợp không dùng đạo hàm, tích phân - Nguyễn Công Định

Tài liệu Chứng minh đẳng thức tổ hợp không dùng đạo hàm, tích phân giúp học sinh vận dụng sáng tạo trong bài toán chứng minh bất đẳng thức mà không cần dùng đến đạo hàm, tích phân. Chúc các em học tốt.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chứng minh đẳng thức tổ hợp không dùng đạo hàm, tích phân - Nguyễn Công Định CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TỔ HỢP KHÔNG DÙNG ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN Tác giả: Nguyễn Công ĐịnhI/ Mở Đầu: Sử dụng phương pháp đạo hàm, tích phân để tính tổng, chứng minh các đẳng thức tổhợp là điều không còn xa lạ đối với giáo viên và học sinh. Tôi sẽ không nói nhiều về sự tiệnlợi và đẹp đẽ của phương pháp này. Tuy nhiên khi mà sách giáo khoa lớp 11 hiện nay phầntổ hợp được viết trước đạo hàm, còn tích phân thì thậm chí đến cuối lớp 12 mới được học,vậy thì nội dung quan trọng này – mà tôi thấy xuất hiện thường xuyên trong các kì thi tuyểnsinh Cao đẳng, Đại học, sẽ được giảng dạy ở thời điểm nào? Ngay trong chương tổ hợp?Đợi dạy xong đạo hàm? Hay đến hết lớp 12?... Câu trả lời của tôi là ngay sau khi dạy xongbài nhị thức Niu Tơn, học sinh sẽ được học những nội dung này! Quý thầy cô sẽ thấy ngay sau đây!II/ Nội Dung:Nhắc lại kiến thức SGK: o n 1. C n  C n  1 3. C n  C n  k k n k n! 2. C n  4. C nk  C n 1  C n11 k k n  k !k!Ta chứng minh thêm: k k 1 5. k .C n  n.C n1 . k .n.(n  1)! (n  1)! k 1Thật vậy: k .Cnk   n.  n.C n1 . Tương tự: (n  k )!k .(k  1)! (n  k )!(k  1)! 1 k 1 k 6. Cn  C n11. k 1 n 1và thêm công thức quen thuộc: 7. C n  C n  C n  ...  C n  2 n o 1 2 n Nào, bây giờ mời quý thầy (cô) chúng ta cùng nhau chém đứt “vòi bạch tuộc” đạohàm và tích phân với 7 vũ khí thô sơ trên!Bài 1: Tính tổng: S  C n  2.C n2  3.C n  ...  n.C nn . 1 3Để xem “tên” đạo hàm tiến hành như thế nào:  Khai triển: 1  x n  C no  Cn1 x  C n2 x 2  C n3 x 3  ...  C nn x n (*) n 1  n1  x   C n  2C n2 x  3C n x 2  ...  nC n x n 1 1 3 n  Cho x = 1  n.2 n1  C n  2C n2  3C n  ...  nC nn  S  n.2 n1 . 1 3 Thật gọn gàng, đẹp đẽ! Tuy nhiên, tôi không thích “tên” đạo hàm này lắm và tôi muốnloại bỏ chúng. Đây là nhát chém đầu tiên!  Từ (5)  C n  n.C no1 ; 2C n2  nC n1 ; 3C n  nC n21 ; ... ; nC nn  nC nn11 . 1 1 3Cộng các vế lại  S  nCno1  C n1  C n21  ...  C nn11   n.2 n1. Xong. 1  Thậm chí, ta còn có thể sử dụng “vũ khí” thông dụng nhất để giải quyết trọn vẹn:Ban đầu: S  C n  2.C n  3.C n  ...  (n  1)C n 1  n.C n 1 2 3 n nSử dụng (3)  S  C nn1  2.Cnn 2  3.C nn3  ...  (n  1)Cn  nC no 1Cộng lại: 2S  nC n  nC nn1  nC n 2  nC nn3  ....  nC nn  n.2 n  S  n.2 n1. o nBài 2: Tính tổng: S  1.2.C n2  2.3.C n  3.4.C n4  ....  (n  1).n.C nn . 3 Rõ ràng bộ mặt của đạo hàm trong bài toán này chính là đạo hàm 2 lần đẳng thức(*) và tiến hành giải giống như bài 1. Nhưng lần nữa chúng ta làm cho chúng phải chùn lại!   Áp dụng (5) hai lần, tức là: (k  1)kC nk  (k  1)nC nk11  (n  1)nC nk22 . Như vậy: S  1.2C n2  2.3C n  ...  (n  1)nC nn  (n  1)nC n2  (n  1)nC n2  ...  (n  1)nC nn22 3 o 1  (n  1)n2 n2.Bài 3: Tính tổng: S  12 C n  2 2 C n2  32 C n ...  n 2 Cnn . 1 3 Đây có lẽ là bài toán vận dụng đạo hàm mạnh nhất mà “hắn” ta luôn tự hào. Thậtvậy, với khai triển n1  x n1  C n  2C n2 x  3C n x 2  ...  nC nn x n1 thì thật khó để có thể ...