Chương 3: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

Cho hàm số y = f(x) xác định tại x0, cho số gia x sao cho hàm số xác định tại x0 x. Khi đó số gia của hàm số tại điểm x0 được ký hiệu và xác định như sau...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 3: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂNTrần Thiện Hùng CQ46/11.14 ng3.§¹ohµmvµviph©n Ch¬ 3.1.§ÞnhnghÜa®¹ohµmvµviph©n.3.1.1.§ÞnhnghÜa®¹ohµmvµviph©n. Chohµmsè y=f(x)x¸c®Þnht¹ix0,chosègia∆ xsaochohµmsèx¸c®Þnht¹ix0 + ∆ x.Khi®ãsègiacñahµmsèt¹i ®iÓm x0 ®îc ký hiÖu vµ x¸c ®Þnh nh sau:∆ f 0=f(x0+ ∆ x)− (x0), x f hoÆc∆ y(x0)=y(x0+ ∆ x)− (x0). y§ÞnhnghÜa3.1.§¹ohµmcñahµmy=f(x)t¹i ®iÓmx0 (ký hiÖulµ:y′ (x0)hoÆcf′ (x0))lµ giíih¹n(nÕucã)cñatû sègi÷asègiacñahµmsèt¹i®iÓmx0vµsègia®èisèkhi sègia®èisèdÇntíi0.VËy f( x0 + ∆ x ) − f( x0 ) f′ (x0)= l m hayy′ (x0)= i ∆x ∆ x →0 y( x0 + ∆ x ) − y( x0 ) lm i . ∆x ∆ x →0 f( x0 + ∆ x ) − f( x0 )§ÞnhnghÜa3.2. NÕutånt¹i l m − i th× hµm ∆x ∆ x →0f(x) ®îcgäilµ cã ®¹ohµmbªntr¸it¹i ®iÓmx0 vµ ®îcký −hiÖulµf′ (x0 ).VËyTrần Thiện Hùng CQ46/11.14 f( x0 + ∆ x ) − f( x0 ) − f′ (x0 )= l m − i . ∆x ∆ x →0 T¬ngtù,®¹ohµmbªnph¶icñahµmf(x)t¹i®iÓmx0 ® +îc ký hiÖu vµ x¸c ®Þnh nh sau: f′ (x0 ) = f( x0 + ∆ x ) − f( x0 ) lm + i . ∆x∆ x →0NhËnxÐt3.1.Tõc¸c®ÞnhnghÜa3.1,3.2vµ®Þnhlý2.2tacã®Þnhlýsau:§Þnhlý 3.1. §iÒukiÖncÇnvµ ®ñ ®Ó hµmf(x) cã ®¹ohµm t¹ix0lµ tånt¹ic¸c ®¹ohµmtr¸i, ®¹ohµmph¶icñaf(x) − +t¹ix0vµf′ (x0 )=f′ (x0 ).Khi®ã, − + f′ (x0)=f′ (x0 )=f′ (x0 ).§ÞnhnghÜa3.3. Gi¶sö hµmf(x) x¸c ®Þnh trongmétl©n cËncña®iÓmx0.Víi∆ x ®ñnhá,sègia∆ f x0)=f(x0 + ∆ x)− (f(x0)biÓudiÔn®îcdíid¹ng: ∆ f x0)=A∆ x+ o(∆ x) (trong ®ã o(∆ x)lµ v«cïngbÐ bËccaoh¬n ∆ x khi∆ x→0,A lµ métsè h÷uh¹nchØphô thuécx0 vµ hµmfmµ kh«ngphô thuéc∆ x.Th×A∆ x®îcgäilµviph©ncñahµmf(x)t¹ix0vµ ký hiÖulµ df 0 . VËyviph©ncñahµmf(x) t¹ix0 lµ v« xcïngbÐt¬ng®¬ngvíi∆ f x0)khi∆ x→0 ( df 0=A∆ x. x Hµmf(x)cãviph©nt¹i®iÓmx0th×®îc gäilµkh¶vit¹ix0.Trần Thiện Hùng CQ46/11.14§Þnhlý 3.2. (vÒ mèiliªnhÖ gi÷atÝnhkh¶vivµ sù tån t¹i®¹ohµmcñahµmsèt¹imét®iÓm). §iÒukiÖncÇnvµ®ñ®Óhµmsèf(x)cãviph©nt¹i®iÓm x0lµ t¹i ®iÓm ®ã hµmsè cã ®¹ohµmf′ (x0)h÷uh¹nvµ khi ®ã df 0=f′ (x0)∆ x. x§ÞnhnghÜa3.4.+ Hµmf(x)®îcgäilµ cã ®¹ohµmtrªn(a;b)(a,blµc¸csèthùc),nÕuf(x)c㮹ohµmt¹imäi®iÓm thuéc(a;b). + Hµmf(x) ®îcgäilµ cã ®¹ohµmtrªn [a; b](a,blµ c¸csè h÷uh¹n),nÕuf(x)cã ®¹ohµmtrªn(a;b)vµ t¹ia c㮹ohµmbªnph¶i,t¹ibc㮹ohµmbªntr¸i.VÝ dô 3.1. (i) TÝnhc¸c ®¹ohµmmétphÝavµ ®¹ohµm(nÕucã) t¹i x = 2 cña hµm: 3x − 1 khi x < 2;f(x)=  2  x + 1 khi x ≥ 2. f( 2 + ∆ x ) − f( 2) 3( 2 + ∆ x ) − 1 − 5 −Gi¶i.Tacã:f′ (2 )= l m − i = l m − i ∆x ∆x ∆ x →0 ∆ x →0=3. f( 2 + ∆ x ) − f( 2) + f′ (2 )= l m + i = ∆x ∆ x →0 ( 2 + ∆ x ) 2 + 1 − 5 =4. lm i ∆x∆ x → 0+ − + NhvËyf′ (2 )≠ f′ (2 )do®ãkh«ngtånt¹if′ (2).Trần Thiện Hùng CQ46/11.14(ii)TÝnh®¹ohµm(nÕucã)t¹ix=0cñahµmf(x)= 3 x . f( 0 + ∆ x ) − f( 0) 1 ...