Chương 6: Khảo sát dãy số và phương trình sai phân

Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM. Chương 6: Khảo sát dãy số và phương trình sai phân. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 6: Khảo sát dãy số và phương trình sai phân 252 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phânT đ nh nghĩa ta có ∞ Γ(1) = e−x dx = −e−x |∞ = 0 + 1 = 1 0 (1.12). 0Tích phân t ng ph n ta đư c t t n−1 −x n−1 −t x e dx = −t e + (n − 1) xn−2 e−x dx. 0 0Dùng Đ nh lý L’Hospital ta có −tn−1 e−t ti n đ n 0 khi t ra ∞. Vì v y, ∞ ∞ Γ(n) = xn−1 e−x dx = (n − 1) x(n−1)−1 e−x dx (1.13) 0 0hay Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1) (1.14)và thay n b i n + 1 ta đư c Γ(n + 1) Γ(n + 1) = nΓ(n), Γ(n) = . (1.15) nT (1.14) suy ra Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1) = (n − 1)(n − 2)Γ(n − 2) = (n − 1)(n − 2)(n − 3) · · · 3 · 2 · 1 · Γ(1) = (n − 1)!T (1.12) ta đư c Γ(1) = 1, do đó Γ(n) = (n − 1)!. Ngư i ta đã tính đư c các giá tr c a Γ(n) v i 1 < n < 2 và nh các côngth c (1.14) và (1.15) ta có th tính Γ(n) v i m i giá tr dương c a n.6.2. Tính t ng b ng phương pháp sai phân 253Ví d 6.24. a. Γ(3.2) = (2.2)(1.2)Γ(1.2) = (2.2)(1.2)(0.9182) = 2.424. Γ(1.6) 0.8935 b. Γ(0.6) = 0.6 = 0.6 = 1.489. √ c. Γ(0.5) = π. V i n là s th c âm ta s dùng công th c (1.15) đ tính Γ(n). Γ(0.6) Γ(1.6)Ví d 6.25. Γ(−0.4) = −0.4 = (−0.4)(0.6) = −3.723Chú ý 6.3. Ngư i ta ch ng minh đư c r ng v i n = 0 và n nguyên âm thìΓ(n) không xác đ nh.Hàm Beta Hàm Beta đư c đ nh nghĩa b i 1 β(m, n) = xm−1 (1 − x)n−1 dx (1.16). 0Hàm Beta xác đ nh v i m i m, n > 0. Đ t y = 1 − x ta có 1 1 m−1 n−1 β(m, n) = x (1 − x) dx = y n−1 (1 − y)m−1 dy = β(n, m). (1.17) 0 0Ti p theo ta s tìm m i liên h gi a hàm Gamma và hàm Beta. Trong (1.11) đ t x = z 2 , dx = 2zdz; ta đư c ∞ 2 Γ(n) = 2 z 2n−1 e−z dz. 0T đó ta có ∞ 2 Γ(m) = 2 e−x x2m−1 dx 0 ∞ 2 Γ(n) = 2 e−y y 2n−1 dy 0254 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân ∞ ∞ 2 −y 2 Γ(m)Γ(n) = 4 e−x x2m−1 y 2n−1dydx. 0 0Chuy n sang t a đ c c ta có π ∞ 2 2 Γ(m)Γ(n) = 4 e−r r2m−1 (cos θ)2m−1 r2n−1 (sin θ)2n−1 rdrdθ 0 0 ...