Chương 6: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân xác định

Chương 6: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân xác định giới thiệu đến bạn đọc những nội dung về đạo hàm Romberg, khái niệm về tích phân số, phương pháp hình thang, công thưc Simpson. Mời các bạn tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 6: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân xác định CHƯƠ NG 6:TÍNH GẦ N ĐÚNG ĐẠ O HÀM VÀTÍCH PHÂN XÁCĐỊ NH §1.ĐẠ OHÀMROMBERG Đạohàm theo ph ươ ng pháp Romberg làmộ t ph ươ ng pháp ngoại suy để xácđị nh đạ o hàm vớimột độ chính xáccao.Taxétkhai triển Taylor của hàm f(x)tại(x+h)và(xh): h2 h3 h 4 ( 4) f( x h ) f( x) h f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) (1) 2 3! 4! h2 h3 h 4 ( 4) f( x h ) f( x) h f ( x) f (x) f (x) f ( x) (2) 2 3! 4!Trừ(1)cho(2)tacó: 2h 3 2h 5 ( 5) f( x h ) f( x h ) 2h f ( x ) f (x) f ( x) (3) 3! 5!Nh ư vậyrút ra: f( x h ) f( x h ) h 2 h 4 ( 5) f ( x) f ( x) f ( x) (4) 2h 3! 5!hay tacóthể viếtlại: 1 f ( x) f( x h ) f( x h ) a 2 h 2 a 4 h 4 a 6 h 6 (5) 2htrong đó cáchệ sốaiph ụ thu ộcfvàx.Tađặ t: 1 (h ) f( x h ) f( x h ) (6) 2hNh ư vậytừ(5)và(6)tacó: D(1,1) ( h ) f ( x) a 2 h 2 a 4 h 4 a 6 h 6 (7) 2 4 6 h h h h D( 2 ,1) f (x) a 2 a4 a6 (8) 2 4 16 64vàtổ ngquát vớih i=h/2 i1tacó: D(i ,1) ( h i ) f ( x) a 2 h i2 a 4 h i4 a 6 h 6i (9)Tatạorasaiphân D(1,1)4D(2,1)vàcó: h 3 15 (h ) 4 3f ( x) a 4h 4 a 6h 6 (10) 2 4 16Chiahaivế của(10)cho3tanh ậ n được: 4 D( 2 ,1) D(1,1) 1 5 D( 2 ,2) f ( x) a 4h 4 a 6h 6 (11) 4 4 16Trong khiD(1,1)vàD(2,1)saikhácf (x)ph ụ thu ộcvào h 2thìD(2,2)saikhácf (x)ph ụ thu ộcvàoh 4.Bâygiờtalạichiađôibướchvànhậ n được: 4 6 1 h 5 h D( 3,2) f ( x ) a4 a6 (12) 4 2 16 2 160vàkhử sốhạng cóh 4bằngcáchtạora: 15 D( 2 ,3) 16 D( 3,2) 15f ( x) a 6h 6 (13) 64Chiahaivế của(13)cho15tacó: 16 D( 3,2) D( 2 ,2) 1 D( 3,3) f ( x) a6h 6 (14) 15 64Vớilần tính này sai số củađạ o hàm chỉ còn ph ụ thu ộc vào h 6.Lạitiế p tục chia đôi bướch và tính D(4,4)thì sai số ph ụ thu ộc h 8.Sơđồ tính đạ o hàm theo ph ươ ng pháp Romberg là: D(1,1) D(2,1) D(2,2) D(3,1) D(3,2) D(3,3) D(4,1) D(4,2) D(4,3) D(4,4) ............trong đó mỗigiátrị sau làgiátrị ngoạisuy củagiátrị trướcđó ởhàng trên .Với2 j i ntacó: 4 j 1 D(i , j 1) D(i 1, j 1) D(i , j) 4j 1 1vàgiátrị khởiđầ u là: 1 D(i , j) (h i ) f( x h i ) f( x h i ) 2h ivớih i=h/2 i1. Chúng ta ng ừng lạikhi hi ệu gi ữa hai lần ngo ại suy đạ t độ chính xác yêu cầu.Ví dụ:Tìm đạ o hàm củahàm f(x)=x 2+arctan(x)tạix=2v ớib ướctính h= 0.5.Trịchính xáccủađạ ohàm là4.2 1 D(1,1) [f( 2.5) f(1.5)] 4.207496266 ...