Đại số sơ cấp - Bất đẳng thức – Bất phương trình

Tham khảo tài liệu đại số sơ cấp - bất đẳng thức – bất phương trình, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đại số sơ cấp - Bất đẳng thức – Bất phương trìnhCHƯƠNG III. BẤT ĐẲNG THỨC − BẤT PHƯƠNG TRÌNH §1. ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC1. Định nghĩa Cho hai số a, b ∈ K ( K là trường số hữu tỉ ℚ hay trường số thực ℝ). Ta nói a lớn hơn bvà kí hiệu a > b nếu a − b là một số dương. Khi đó, ta cũng nói b bé hơn a và kí hiệu b < a. Ta nói a lớn hơn hay bằng b và viết là a ≥ b nếu a − b là một số dương hay bằng không.Khi đó, ta cũng nói b bé hơn hay bằng a và viết b ≤ a.Giả sử A( x), B( x ) là hai biểu thức toán học với tập xác định chung là D của biến số x (hoặccó thể xem là hai biểu thức toán học của cùng n biến số x1 , x2 ,..., xn nếu ta xemx = ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈ K n ).Ta nói A( x ) < B( x ) hay B( x ) > A( x) ( A( x ) ≤ B( x ) hay B( x ) ≥ A( x ) )Nếu tại mọ i giá trị của biến số x ∈ D ta đều có: A( x0 ) < B( x0 ) hay B( x0 ) > A( x0 ) ( A( x0 ) ≤ B( x0 ) hay B( x0 ) ≥ A( x0 )) là các bất đẳng thức đúng.Ta gọi a > b; a ≥ b; A( x) < B( x); A( x ) ≤ B( x ) là bất đẳng thức. 1Ví dụ.12 ≥ 7; x 2 − x + 2 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ; y + ≥ 2, ∀y ∈ ℝ + là các bất đẳng thức. y2. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức Ta chứng minh được dễ dàng các tính chất sau đây, trong đó A, B, C ,... là các số hoặc cácbiểu thức toán học của cùng một số biến số xét trên cùng một trường số K . 2.1. A < B ⇔ B > A 2.2. A > B, B > C ⇒ A > C 2.3. A > B ⇒ A + C > B + C A > B 2.4.  ⇒ A+C > B+ D C > D  Am > Bm; m > 0 2.5. A > B ⇒   Am < Bm; m < 0 A > B 2.6.  ⇒ A−D > B−C C > D A > B > 0 2.7.  ⇒ AC > BD C > D > 0 85 2.8. A > B > 0 ⇒ An > B n (∀n ∈ ℕ* ) 2.9. A > B > 0 ⇒ n A > n B (∀n ∈ ℕ* {1}) 11 2.10. A > B > 0 hoặc B < A < 0 ⇒ >. BA3. Một số bất đẳng thức quan trọng Các bất đẳng thức sau đây thường được dùng để giải các bài toán về bất đẳng thức.3.1. Bất đẳng thức về dấu giá trị tuyệt đối. Cho a, b, ai , i = 1, 2,..., n là các số thực. Thế thì a + b ≤ a + b (*); a − b ≤ a − b (**); a1 + a2 + ... + an ≤ a1 + a2 + ... + an (***).Dấu “ = ” trong (*) và (**) xảy ra, khi và chỉ khi ab ≥ 0.Dấu “ = ” trong (***) xảy ra, khi và chỉ khi các số ai ≥ 0 hoặc ai ≤ 0, ∀i = 1, 2,..., n. 3.2. Bất đẳng thức CôsiCho n số thực a1 , a2 ,..., an không âm. Thế thì a1 + a2 + ... + an n ≥ a1.a2 ...an nDấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = ... = an . 3.3. Bất đẳng thức BunhiacôpskiCho n cặp số thực (ai ; bi ), i = 1, 2,…, n.Thế thì 2 n  n  n  ∑ ai bi  ≤  ∑ ai2  ∑ bi2   i =1   i =1  i =1 Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi tồn tại k ∈ ℝ sao cho bi = kai , i = 1, 2,…, n.4. Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức 4.1. Phương pháp qui về định nghĩaĐể chứng minh A > B (hoặc A ≥ B ), ta chứng minh A − B > 0 ( hoặc A − B ≥ 0 ).Ví dụ 1. Giả sử a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.Chứng minh rằng a(b − c )2 + b(c − a )2 + c(a + b)2 > a 3 + b3 + c3 (1)Giải.Ta cóa (b − c ) 2 + b (c − a ) 2 + c ( a + b ) 2 − a 3 − b 3 − c 3= a[(b − c)2 − a 2 ] + b[(c − a )2 − b 2 ] + c[(a + b)2 − c 2 ]= (a + b − c)[c 2 − (a − b)2 ] = (a + b − c)(c + a − b)(b + c − a) > 086Bất đẳng thức trên đúng. Vậy (1) đúng.Ví dụ 2. Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ a(b + c + d + e), ∀a, b, c, d , e.Khi nào dấu “=” xảy ra?Giải.Ta cóa 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 − a (b + c + d + e) == a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 − ab − ac − ad − ae =  a2   a2   a2   a2 =  − ab + b 2  +  − ac + c 2  +  − ad + d 2  +  − ae + e 2  4  4  4  4  2 2 2 2 a  a  a  a =  − b  +  − c  +  − d  +  − e  ≥ 0. 2  2  2  2  aDấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi = b = c = d = e. 2 4.2. Phương pháp biến đổi tương đương Để chứng ...