Đại số sơ cấp (Phần 4): Phép chứng minh bất đẳng thức trên một tập

Đại số sơ cấp (Phần 4): Phép chứng minh bất đẳng thức trên một tập gồm các bài tập và lời giải phần phép chứng minh bất đẳng thức. Mời các quý thầy cô giáo cùng các em học sinh tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đại số sơ cấp (Phần 4): Phép chứng minh bất đẳng thức trên một tập§4.PHÉPCHỨNGMINHBẤTĐẲNGTHỨCTRÊNMỘTTẬP VìchỉxétbấtđẳngthứctrêntậpRcácsốthực,nêntừ“trênR“tasẽbỏđi. a b Vídụ11.Chứngminhrằng ab nếua 0,b 0(hoặc:chứng 2 a bminhbấtđẳngthức ab trêntập T (a , b) R 2 | a 0, b 0 ). 2 Giải: Phươngphápthứnhất: a b ab a b 2 ab a b 2 ab 0 2 ( a )2 ( b )2 2 a b 0 ( a, b 0) 2 a b 0. Phươngphápthứhai:phântích. a b Giảsửrằng ab ,nếua 0,b 0.Khiđó 2 a b ab a b 2 ab 2 2 a b 4ab (a b )2 4ab 0 (a b )2 0 Chứngminh: (a+b)2 0 ( a b )2 4ab 0 (a b )2 4ab 43 a b 2 ab ( a, b 0) a b ab 2 Phươngphápthứba: (a b) 2 0 (a b) 2 4ab 0 (a b )2 4ab a b 2 ab ( a, b 0) a b ab . 2 Phươngphápthứtư:(phảnchứng) a b Giảsử ab vớia,b 0.Khiđó 2 a b ab a b 2 ab 2 (a b) 2 4ab (a b) 2 4ab 0 (a b) 2 0vôlí. a bVậy ab ,vớia 0,b 0. 2 Vídụ12.Chứngminhrằng: (1) (1 )n 1 n ởđâyα>1,a#0,n N,n>1. Giải.(Phươngphápquinạp). 1) Vớin=2tacó (1 )2 1 2 2 1 2 suyra( 1 2 ) 2 1 2 . 2) Tachứngminhnếubấtđắngthức(1)đúngvớin=k,ởđâyk N,k>1thìbất đẳng thức (1) đúng với n=k+1,nghĩa là nếu (2) (1 )k 1 k ,với 1, 0, k N, k 1 ,thì (3)(1 )k 1 1 (k 1) . 44 Thậtvậy, (1 )k 1 (1 ) k (1 ) (1 k ) ((2), 1) 2( 1 1 (k 1) k 1 ( k 1) . a 0 2 k 0 k NNghĩalà, (1 )k 1 1 ( k 1) . Từ1)và2)suyrarằng:(1 )n 1 n với 1, 0, n N , n 1. Ví d ...