Đáp án đề thi trường đông Toán học ngày 10/12/2014 (Ngày thi thứ hai)

Đáp án đề thi trường đông Toán học ngày 10/12/2014 thông tin đến các bạn lời giải của đồng phương Toán học, củng cố kiến thức cho kỳ thi THPT sắp đến. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đáp án đề thi trường đông Toán học ngày 10/12/2014 (Ngày thi thứ hai)Trường đông Toán học - VTH 10/12/2014 ĐÁP ÁN ĐỀ THI Ngày thi thứ hai Thời gian: 180 phútBài 5 (7 điểm). Nếu ? không là ước nguyên tố của bất kì ?? nào thì ta có thể chọn?? bất kì và bài toán được chứng minh. Giả sử ngược lại, ? là một ước nguyên tố củaít nhất một trong các số ?? . Gọi ? là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho ? | ?? . Gọi? = ?? = số mũ của ? trong ?? . Ta chứng minh rằng với mọi ? thì hoặc ? - ?? hoặc?? ||?? . (Kí hiệu ?? ||?? có nghĩa là ? xuất hiện với số mũ ? trong ?? ). Trước hết ta chỉ ra bằng qui nạp theo ? ≥ 1 rằng ??+? ≡ ?? (mod ?2? ).Viết (︃ ? )︃ ? ∑︁ ∑︁ ? 2 ?−2 ? (?) = ?0 + ? ? ? = ?1 + ? ?? ? , ?=2 ?=2(điều kiện ? ′ (0) = 0 nói rằng luỹ thừa bậc nhất của ? không xuất hiện trong khaitriển của ? ). Với ? = 1 thì (︃ )︃ ∑︁ ?−2 ??+1 = ? (?? ) = ?2? ? ? ?? + ?1 ≡ ?1 (mod ?2? ). ?≥2Như vậy, ??+1 ≡ ?1 (mod ?2? ). Giả sử khẳng định đúng với ?, nghĩa là ??+? ≡ ??(mod ?2? ). Từ đó suy ra ? (??+? ) ≡ ? (?? ) (mod ?2? ), hay ??+?+1 ≡ ??+1 (mod ?2? ). Nhưvậy theo nguyên lý qui nạp thì khẳng định được chứng minh. Bây giờ cố định số nguyên dương ? bất kì sao cho ? | ?? . Viết ? = ?? + ? với0 ≤ ? ≤ ? − 1. Giả sử ? > 0. Thế thì ta có ?? ≡ ??(?−1)+? ≡ · · · ≡ ?? (mod ?2? ).Nói riêng, ? | ?? với ? < ?, nhưng điều này mâu thuẫn với cách chọn của ?. Như vậy,? = 0 và do đó ? = ??. Thế nhưng đồng dư ở trên cũng nói rằng ?? ≡ ?? (mod ?2? ).Bởi vì ?? ||?? , đồng dư này cho thấy ?? ||?? . Bài toán được chứng minh.Bài 6 (7 điểm). (a) ?? tiếp xúc (??? ). Trước tiên (??? ) là đường tròn đường kính ?? (ký hiệu là [??]) và theo tínhchất quen biết trong tam giác: Đường thẳng ?? đi qua giao điểm ? ′ ̸= ? của (?) và[??]. Suy ra ? chính là giao điểm của (?) và [??] (? ̸= ?). Để ý rằng ??, ?? chínhlà các tiếp tuyến với [??] nên tứ giác ? ? ?? là tứ giác điều hòa. Do đó ?? và cáctiếp tuyến tại ? và ? đồng quy tại một điểm. Theo giả thiết, ?? là tiếp tuyến tại ? ,suy ra ?? là tiếp tuyến tại ? . 1Trường đông Toán học - VTH 10/12/2014(b) ?? , ?? , ? ? đồng quy. Trước hết, ta chứng minh ?? là tiếp tuyến tại ? của (?). Giả sử tiếp tuyến tại? cắt ?? tại ? ′ . Để ý rằng các tam giác ?? ? và ? ′ ? ? cân tại ? và ? ′ nên ?? làtrung trực của ? ?. Suy ra ?? ′? + ? ′ ?? = 90∘ . Dẫn đến ?? [ = 90∘ . ′ ? + ???Mặt khác, do ?? [ [ = 180∘ và ?? ? + ??? [ [? + 90∘ nên ta được ? = ?? ?? [ = 90∘ . [? + ???Từ đây suy ra ?? [? nên ? ′ thuộc đường tròn (??? ). Theo cách dựng điểm ′ ? = ??? , suy ra ? ′ ≡ ? . Vậy ?? là tiếp tuyến tại ? của (?). Tương tự ?? cũng là tiếp tuyến của (?) tại ?. Gọi ? là giao điểm của ?? và ?? . Không khó chứng minh được ∆? ?? ∼∆? ? ?. Để ý rằng ? là giao điểm của các tiếp tuyến tại ? và ? của (? ??) cũng như? là giao điểm của các tiếp tuyến tại ? và ? của (? ? ?). Suy ra các tứ giác ? ???và ? ? ?? đồng dạng. Suy ra ?? ? = ?̂︂? ?. Vì ?̂︂ [ nên ?? ? ? = ??? ? = ???[ , thànhthử giao điểm của ? ? với (?) phải trùng với điểm ? , nên ? ? đi qua ? . Vậy ?? , ?? và ? ? đồng quy.Bài 7 (6 điểm). Ký hiệu ? ∑︁ ?? (?) = 2?(?−?) ?? . ?=0Để chỉ ra đa thức ?? (?) có đúng ? nghiệm thực, ta sẽ chỉ ra các số (̸= 0) ?? (−2−? ), ?? (−2−?+2 ), ?? (−2−?+4 ), . . . , ?? (−2? ), 2Trường đông Toán học - VTH 10/12/2014luân phiên đổi dấ ...