Đề thi chọn HSG cấp huyện lớp 9 môn Toán năm học 2012 - 2013 - Sở GD&ĐT Kim Thành

Mời các bạn tham khảo Đề thi chọn HSG cấp huyện lớp 9 môn Toán năm học 2012 - 2013 - Sở GD&ĐT Kim Thành có đáp án sau đây để biết được cấu trúc đề thi cũng như những dạng bài chính được đưa ra trong đề thi. Từ đó, giúp các bạn có kế hoạch học tập và ôn thi hiệu quả.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn HSG cấp huyện lớp 9 môn Toán năm học 2012 - 2013 - Sở GD&ĐT Kim ThànhPHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO HUYỆN KIM THÀNHĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎIHUYỆN NĂM HỌC 2012 – 2013Môn: Toán 9Thời gian làm bài: 120 phútĐề gồm 01 trangBài 1: (4,0 điểm)a) Rút gọn biểu thức A =2 x 9x  3 2 x 1x 5 x 6x  2 3 xb) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = 1.Hãy tính giá trị biểu thức: A =x(1  y 2 )(1  z 2 )(1  z 2 )(1  x 2 )(1  x 2 )(1  y 2 )yz(1  x 2 )(1  y 2 )(1  z 2 )Bài 2: (3,0 điểm)a) Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012Tính f(a) tại a = 3 16  8 5  3 16  8 5b) Tìm số tự nhiên n sao cho n2 + 17 là số chính phương?Bài 3: (4,0 điểm)Giải các phương trình sau:a) 1  x  4  x  3b) x2  4 x  5  2 2 x  3Bài 4: (3,0 điểm)a) Tìm x; y thỏa mãn: 2  x y  4  y x  4   xyb) Cho a; b; c là các số thuộc đoạn  1; 2 thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 6 hãy chứngminh rằng:a+b+c  0Bài 5: (6,0 điểm)Cho tam giác ABC nhọn; các đường cao AK; BD; CE cắt nhau tại H.a) Chứng minh:KC AC 2  CB 2  BA2KB CB 2  BA2  AC 2b) Giả sử: HK =1AK. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 33c) Giả sử SABC = 120 cm2 và BÂC = 600. Hãy tính diện tích tam giác ADE?TRƯỜNG THCS THƯỢNG VŨHƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG HUYỆN KIM THÀNHTổ KHTNNĂM HỌC 2012 – 2013Môn: Toán 9Thời gian: 120’Câu 1: (4 điểm)a/ Rút gọn biểu thức A =2 x 9x  3 2 x 1x 5 x 6x  2 3 xĐKXĐ: x  4; x  9A2 x 9x 2=x 3x  2 x 1x  3 2 x 1 2 x  9  x  9  2x  3 x  2x 2x 3x 2x 3x  3x 2=x x 2x 2x 3x 1x 3b/ Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = 1.Hãy tính: A = x(1  y 2 )(1  z 2 )(1  z 2 )(1  x 2 )(1  x 2 )(1  y 2 )yz(1  x 2 )(1  y 2 )(1  z 2 )Gợi ý: xy + yz + xz = 1  1 + x2 = xy + yz + xz + x2 = y(x + z) + x(x + z) = (x+ z)(x + y)Tương tự: 1 + y2 = …; 1 + z2 = ….Câu 2: (3 điểm)a/ Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012Tính f(a) tại a = 3 16  8 5  3 16  8 5b/ Tìm số tự nhiên n sao cho n2 + 17 là số chính phương?Giảia/Từ a= 3 16  8 5  3 16  8 53 a3  32  3 3 16  8 5 16  8 5  3 16  8 5  3 16  8 5   32  12a nên a + 12a =32Vậy f(a) = 1b/ Giả sử: n2 + 17 = k2 (k  ) và k > n  (k – n)(k + n) = 17 k  n  1n8k  n  17Vậy với n = 8 thỏa mãn yêu cầu bài toán.Câu 3: (4 điểm)Giải các phương trình sau:a/ 1  x  4  x  3b/ x2  4 x  5  2 2 x  3Giảia/ ĐK: 4  x  1Bình phương 2 vế: 1  x  4  x  2 (1  x)(4  x)  9  (1  x)(4  x)  2x  0(thỏa mãn) 4  3x  x 2  4  x( x  3)  0   x  3Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 0; x = -3b/ x2  4 x  5  2 2 x  3 ĐKXĐ: x  32 x2  2x  1  2 x  3  2 2 x  3  1  0  x  1 22x 1  02x  3 1  0   x  1 vậy phương trình có nghiệm2x31duy nhất x = -1Câu 4: (3 điểm)a/ Tìm x; y thỏa mãn: 2  x y  4  y x  4   xyb/ Cho a; b; c là các số thuộc đoạn  1; 2 thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 6 hãy chứngminh rằng: a + b + c  0Giảia/ 2  x y  4  y x  4   xy  x.2. y  4  y.2. x  4  xyXét VP = x.2. y  4  y.2. x  4 theo BĐT cosi:2 y4 4 y4 y4 x4 x ;2 x  4  vậy VP  xy = VT2222 x  4  2Dấu = xảy ra khi:  y  4  2 x  y 8b/ Do a; b; c thuộc đoạn  1; 2 nên a + 1  0; a – 2  0 nên (a + 1)(a – 2)  0Hay: a2 – a – 2  0  a2  a + 2Tương tự: b2  b + 2; c2  c + 2Ta có: a2 + b2 + c2  a + b + c + 6 theo đầu bài: a2 + b2 + c2 = 6 nên: a + b + c 0Câu 5: (6 điểm)Cho tam giác ABC nhọn; các đường cao AK; BD; CE cắt nhau tại H.a/ Chứng minh:KC AC 2  CB 2  BA2KB CB 2  BA2  AC 2b/ Giả sử: HK =1AK. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 33c/ Giả sử SABC = 120 cm2 và BÂC = 600. Hãy tính diện tích tam giác ADE?Giảia/ Sử dụng định lý pytago:AAC 2  CB 2  BA2 AK 2  KC 2  ( BK  CK )2  AB 2CB 2  BA2  AC 2 ( BK  CK )2  BA2  ( AK  KC ) 2=2CK 2  2 BK .CK 2CK (CK  BK ) CK2 BK 2  2 BK .CK 2 BK ( BK  CK ) BKHAKAK; tanC =BKCKb/ Ta có: tanB =Nên: tanBtanC =BAK 2(1)BK .CKKCMặt khác ta có: B  HKC mà: tanHKC =Nên tanB =DEKCKHKCKBKB.KCtương tự tanC =(2) tan B.tan C KHKHKH 2Từ (1)(2)   tan B.tan C Theo gt: HK =2 AK  KH 21AK  tan B.tan C  332SAB c/ Ta chứng minh được: ABC và ADE đồng dạng vậy: ABC   (3)S ADE  AD Mà BÂC = 600 nên ABD  300  AB = 2AD(4)Từ (3)(4) ta có:S ABC 4  S ADE  30(cm2 )S ADE ...