Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 9 THCS môn Toán năm học 2011 - 2012 - Sở GD&ĐT Nghệ An

Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập một cách thuận lợi chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi. Mời các em cùng tham khảo Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 9 THCS môn Toán năm học 2011 - 2012 - Sở GD&ĐT Nghệ An dưới đây.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 9 THCS môn Toán năm học 2011 - 2012 - Sở GD&ĐT Nghệ AnSỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠONGHỆ ANKỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCSNĂM HỌC 2010 - 2011ĐỀ CHÍNH THỨCMôn thi: TOÁN - BẢNG AThời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Câu 1 (4,0 điểm).a) Cho các số nguyên a1, a2, a3, ... , an. Đặt S = a13  a 32  ...  a 3nvà P  a1  a 2  ...  a n .Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6.b) Cho A = n6  n4  2n3  2n2 (với n  N, n > 1). Chứng minh A không phải là sốchính phương.Câu 2 (4,5 điểm).a) Giải phương trình: 10 x3  1  3x2  61x  y  31b) Giải hệ phương trình:  y   3z1z3xCâu 3 (4,5 điểm).1 1 1   4.x y z1111Chứng minh rằng:2x+y+z x  2y  z x  y  2zb) Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa mãn x2011  y2011  z 2011  3 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M  x2  y2  z 2a) Cho x > 0, y > 0, z > 0 vàCâu 4 (4,5 điểm).Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm của tam giác.Gọi M là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. (M không trùng với B và C). Gọi N và Plần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB và AC.a) Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng.b) Khi BOC  1200 , xác định vị trí của điểm M để11đạt giá trị nhỏ nhất.MB MCCâu 5 (2,5 điểm).Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BCkhông chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đườngthẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minhrằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.- - - Hết - - -Họ và tên thí sinh:................................................................................ Số báo danh: .....................................SỞ GD&ĐT NGHỆ ANKỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCSNĂM HỌC 2010 - 2011ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨCMôn: TOÁN - Bảng A-------------------------------------------Nội dungCâu:1.Với a  Z thì a  a  (a  1)a(a  1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hếtcho 2 và 3. Mà (2.3)=13 a3  a 6 S  P  (a13  a1 )  (a32  a2 )  ...  (a3n  an ) 6Vậy S 6  P 6n6  n 4  2n 3  2n 2  n 2 (n  1)2 .(n 2  2n  2)222với n  N , n > 1 thì n  2n  2  (n  1)  1 > (n  1)222và n  2n  2  n  2(n  1) < n2222Vậy (n  1) < n  2n  2 < n  n  2n  2 không là số chính phương đpcm2.10 x3  1  3(x2  2)10 (x  1)(x2  x  1)  3(x2  2) điều kiện x  1Đặtx 1  a(a  0)x2  x  1  b(b>0)Ta có: 10ab = 3a  3b22a = 3b (a  3b)(3a-b) = 0   b  3aTrường hợp1: a = 3bTa có:x  1  3 x2  x  1(1) 9x2  9x+9=x+1 9x2  10x+8 = 0  25  9.8 < 0  phương trình (1) vô nghiệmTrường hợp 2: b = 3a2Ta có: 3 x  1  x  x  1 9(x  1)  x 2  x  1x  5  33 (TM) 1x2  5  33 (TM) x2  10x-8 = 0Vậy phương trình có 2 nghiệm x  5  331x3y1y   3z1z  x  33x-1x thay vào (2)  3xy+3 = 8x+y (4)Từ (3)Từ (1)  xy  1  3y  3xy+3 = 9y (5)Từ (4) và (5)  8x+y = 9y  x  yz Chứng minh tương tự : y = zTừ đó  x  y  zx Thay vào (1)x 1 3  x2  3x+1 = 0x3 52 hệ có 2 nghiệmxyz3 523.1 14 Áp dụng bất đẳng thức x y x  y (với x,y > 0)11 11111 ( )Ta có: 2x+y+z 4 2x y  z ; y  z 4y 4z11 111 (  )2x+y+z 4 2x 4y 4z (1)Suy ra:11 111 (  )Tương tự: x+2y+z 4 4x 2y 4z (2)11 111 (  )x+y+2z 4 4x 4y 2z (3)Từ (1),(2),(3)1111 1 1 1 (   )2x+y+z x+2y+z x+y+2z 4 x y zDấu = xảy raxyz11112x+y+z x+2y+z x+y+2z3420112011Áp dụng bất đẳng thức CôSy cho x ,xvà 2009 số 1 ta có:x2011  x2011  1  1  ...  1  20112011 (x2 )20112009 2x2011  2009  2011x22011 2009  2011y2Tương tự: 2y2z2011 2009  2011z(1)(2)2(3)2(x2011  y2011  z2011 )  3.2009x  y  z 2011Từ (1), (2), (3) x2  y2  z2  3222Giá trị lớn nhất của M là 3 khi và chỉ khi x = y = z = 14.AIEPHNOBFCMGọi giao điểm của BH với AC là EAH với BC là F, CH với AB là I HECF là tứ giác nội tiếp. AHE  ACB (1)Mà ACB  AMB ( góc nội tiếp cùng chắn một cung)Ta có: AMB  ANB (Do M, N đối xứng AB) (2)Từ (1), (2)  AHBN là tứ giác nội tiếp NAB  NHB (*)Mà NAB  MAB (Do M, N đối xứng qua AB (**)Từ (*), (**)  NHB  BAMChứng minh tương tự: PHC  MAC NHB  PHC  BAM  MAC  BAC0Mà BAC  IHE  180 NHB  PHC  BHC  1800 ( vì IHE  BHC ) N, H, P thẳng hàngGọi J là điểm chính giữa của cung lớn BCBOC  1200 BJC đềuTrên đoạn JM lấy K sao cho MK = MBJKB CMBJOKCBMBM  MC  JM114BM MC BM  MC114BM MC JMJM lớn nhất  JM là đường kính (O) lúc đó M là điểm chính giữa của cung nhỏBC.11Vậy BM MC nhỏ nhất  M là điểm chính giữa cung nhỏ BC5.00+ Khi BAC  90  BIC ...