Đề thi chọn HSG lớp 10 năm học 2011-2012 ôn Toán - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

Xin giới thiệu tới các bạn "Đề thi chọn HSG lớp 10 năm học 2011-2012 ôn Toán - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc". Đây là đề thi chính thức dành cho học sinh THPT không chuyên với 4 câu hỏi tự luận có kèm hướng dẫn chấm thi dành cho giáo viên và các bạn học sinh có thể tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn HSG lớp 10 năm học 2011-2012 ôn Toán - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc SỞGD&ĐTVĨNHPHÚC KỲTHICHỌNHSGLỚP10NĂMHỌC20112012 —————— ĐỀTHIMÔN:TOÁN ĐỀCHÍNHTHỨC DànhchohọcsinhTHPTkhôngchuyên Thờigianlàmbài:180phút,khôngkểthờigiangiaođề ————————————Câu1(4,0điểm). 1. Giảiphươngtrình: x 2 + x + 1 + x 2 − x + 1 = 2 ( x ﾡ ) . Giả sử phươngtrìnhbậchai ẩn x ( m làthamsố): x 2 − 2 ( m − 1) x − m3 + ( m + 1) = 0 có 2 2. hainghiệm x1 , x2 thỏamãnđiềukiện x1 + x2 4 .Tìmgiátrịlớnnhấtvàgiátrị nhỏ nhấtcủa biểuthứcsau: P = x1 + x2 + x1 x2 ( 3x1 + 3x2 + 8 ) . 3 3Câu2(1,5điểm). x 2 + x 3 y − xy 2 + xy − y = 1 Giảihệphươngtrình: ( x, y ﾡ ) . x 4 + y 2 − xy (2 x − 1) = 1Câu3(1,5điểm). Cho x, y làhaisốthựcdươngthoảmãnđiềukiện x + 1 + x 2 ( )( y+ ) 1 + y 2 = 2012 .Tìmgiá trịnhỏnhấtcủa P = x + y .Câu4(3,0điểm). 1. Chotamgiác ABC nộitiếptrongđườngtròntâm O.Gọi M,N,P lầnlượtlàđiểmđối xứngcủaOquacácđườngthẳngBC,CA,AB;HlàtrựctâmcủatamgiácABCvàLlàtrọng uuur uuur uuur uuur tâmtamgiácMNP.Chứngminhrằng OA + OB + OC = OH vàbađiểmO,H,Lthẳnghàng. 2. Cho tứ giác lồi ABCD. Giả sử tồntại một điểm M nằm bêntrong tứ giác sao cho ﾡ MAB ﾡ = MBC ﾡ = MCD ﾡ = MDA = ϕ .Chứngminhđẳngthứcsau: AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA2 cot ϕ = , 2 AC.BD.sin α trongđó α làsốđogócgiữahaiđườngthẳngACvàBD. 3. TrongmặtphẳngvớihệtrụctọađộvuônggócOxy,chotamgiácABCngoạitiếpđường tròntâmI.CácđườngthẳngAI,BI,CIlầnlượtcắtđườngtrònngoạitiếptamgiácABCtại �7 5 � � 13 5 � cácđiểm M ( 1; −5) , N � ; �, P�− ; � (M,N,P khôngtrùngvớicácđỉnhcủatamgiác �2 2 � � 2 2 � ABC).TìmtọađộcácđỉnhA,B,CbiếtrằngđườngthẳngABđiquađiểm Q ( −1; 1) vàđiểmA cóhoànhđộdương. —Hết— Cánbộcoithikhônggiảithíchgìthêm. Họvàtênthísinh:……….………..…….…….….….;Sốbáodanh………………. SỞGD&ĐTVĨNHPHÚC KỲTHICHỌNHSGLỚP10THPTKHÔNGCHUYÊN ——————— NĂMHỌC20112012 HƯỚNGDẪNCHẤMMÔN:TOÁN ——————————— I.LƯUÝCHUNG: Hướngdẫnchấmchỉtrìnhbàymộtcáchgiảivớinhữngýcơ bảnphảicó.Khichấmbàihọc sinhlàmtheocáchkhácnếuđúngvàđủýthìvẫnchođiểmtốiđa. Điểmtoànbàitínhđến0,25vàkhônglàmtròn. Vớibàihìnhhọcnếuthísinhkhôngvẽhìnhphầnnàothìkhôngchođiểmtươngứngvớiphần đó. II.ĐÁPÁN: ĐiểCâu Ý Nộidungtrìnhbày m1 1 2,0điểm 2 2 � 1� 3 � 1� 3 Tacó x − x + 1 = �x − �+ , x 2 + x + 1 = �x + �+ nênphươngtrìnhxácđịnh 2 � 2� 4 � 2� 4 vớimọi x ﾡ .Phươngtrìnhđãchotươngđươngvới 0,5 x2 − x + 1 + x2 + x + 1 + 2 (x 2 )( ) − x + 1 x2 + x + 1 = 4 � 2x2 + 2 + 2 x4 + x2 + 1 = 4 � x4 + x2 + 1 = 1 − x2 0,5 1 − x2 0 −1 x 1 � �4 � �4 0,5 ( ) 2 x + x2 + 1 = 1 − x2 x + x2 + 1 = 1 − 2 x2 + x4 −1 x 1 � � x = 0 .Vậyptcónghiệmduynhất x = 0. 0,5 x=0 2 2,0điểm Phươngtrìnhđãchocóhainghiệm x1 , x2 thỏamãn x1 + x2 4 m 2 �� ∆ 0 � �� ( m m2 − 4 0 � � �−2 m 0 � )−2 m 0 0,5 x1 + x2 4 �2 ( m − 1) 4 � ...