Đề thi chọn HSG lớp 9 cấp THCS môn Toán năm 2015 - 2016 - Sở GD&ĐT Nghệ An

Nhằm giúp các bạn học sinh củng cố lại phần kiến thức đã học, biết cấu trúc ra đề thi để chuẩn bị tốt cho kì thi học kì sắp tới. Xin giới thiệu bộ "Đề thi chọn HSG lớp 9 cấp THCS môn Toán năm 2015 - 2016 - Sở GD&ĐT Nghệ An ". Tham gia làm đề thi để ôn tập và chuẩn bị tốt cho kì thi thi sắp tới nhé!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn HSG lớp 9 cấp THCS môn Toán năm 2015 - 2016 - Sở GD&ĐT Nghệ AnVnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phíSỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCSNĂM HỌC 2015 – 2016Đề chính thứcMôn thi: TOÁN - BẢNG AThời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Câu 1. (3,0 điểm)a. Chia 18 vật có khối lượng 20162; 20152; 20142; ...; 19992 gam thành ba nhóm có khốilượng bằng nhau. (không được chia nhỏ các vật đó).b. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 3x + 171 = y2Câu 2. (6,0 điểm)a. Giải phương trình: x 2  6 x  1   2 x  1 x 2  2 x  3224 x  1  y  4 xb. Giải hệ phương trình:  22 x  xy  y  1Câu 3. (3,0 điểm)Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:a 1 b 1 c 13b2  1 c 2  1 a 2  1Câu 4. (6,0 điểm)Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm (O; R). Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn(A, B là các tiếp điểm), cát tuyến MPQ không đi qua O (P nằm giữa M, Q). Gọi H là giaođiểm của OM và AB.a. Chứng minh: HPO  HQOb. Tìm điểm E thuộc cung lớn AB sao cho tổng11có giá trị nhỏ nhất.EA EBCâu 5. (2,0 điểm)Tìm hình vuông có kích thước nhỏ nhất để trong hình vuông đó có thể sắp xếp được 5hình tròn có bán kính bằng 1 sao cho không có hai hình tròn bất kì nào trong chúng cóđiểm trong chung.VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phíĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN LỚP 9CâuNội dungĐiểm- Nhận xét:n2 + (n + 5)2 = 2n2 + 10n + 25 = x + 25(n + 1)2 + (n + 4)2 = 2n2 + 10n + 17 = x + 170,5(n + 2)2 + (n + 3)2 = 2n2 + 10n + 13 = x + 13Lần thứ nhất, chia 6 vật có khối lượng 19992, ... , 20042 thành baphần: A + 25, A + 17, A + 13aLần thứ hai, chia 6 vật có khối lượng 20052, ..., 20102 thành ba phần:B + 25, B + 17, B + 130,5Lần thứ ba, chia 6 vật có khối lượng 20112, ..., 20162 thành ba phần:C + 25, C + 17, C + 13Lúc này ta chia thành các nhóm như sau: Nhóm thứ nhất A + 25, B+ 17, C + 13; nhóm thứ hai B + 25, C + 17, A + 13; nhóm thứ ba C1+ 25, A + 17, B + 13. Khối lượng của mỗi nhóm đều bằng A + B +0,5C + 55 gam.Viết phương trình đã cho về dạng: 9.(3x – 2 + 19) = y2 (x  2). Để ylà số nguyên thì điều kiện cần và đủ là 3x – 2 + 19 = z2 là số chính0,25phương (z là số nguyên dương)Nếu x – 2 = 2k + 1 là số lẻ thì 32k + 1 + 19 = (32k + 1 + 1) + 18 = 4.B+ 18 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên không thể là sốbchính phương.0,5Do đó x – 2 = 2k là số chẵnTa có 3x – 2 + 19 = z2   z  3k  z  3k   19 . Vì 19 là số nguyên tốk z  10 z  10 z  3  1 kk z  3  19k  23  9và z  3k  z  3k nên 0,5Vậy x = 6 và y = 30.0,25ĐKXĐ: R.0,5VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phíVì x 1không phải là nghiệm, nên phương trình đã cho tương2đương với phương trình:2ax2  6 x  1 x2  2x  32x 1x2  6 x  1 2  x2  2 x  3  22x 10,5x 2  6 x  1  2(2 x  1) ( x 2  2 x  3  2)( x 2  2 x  3  2)2x 1x2  2 x  3  2x2  2 x  12x 1x2  2x  10,250,25x2  2 x  3  211   x 2  2 x  1 022x1x2x320,5 x2  2 x 1  0(1) x 2  2 x  3  2  2 x  1 (2)PT (1) có hai nghiệm x1;2  1  20,25PT (2)  x2  2 x  3  2  2 x  1  x2  2 x  2  2 x  10,2513  15x  x3 23 x 2  2 x  3  (2 x  1) 20,25Vậy phương đã cho có ba nghiệm: x1;2  1  2; x3 3  15322 y  2 x  1 2 x  1  yHệ phương trình   2222 x  xy  y  1  x  xy  y  1 y  2x 1 2222 x  xy  y  1  x  x  2 x  1   2 x  1  1 y  2x 1b0,250,5Xét hệ: 0,55 y  2x 1xx0 y  2x 17 x  0hoặc  2 y 1y   37 x  5 x  0 x   5 770,5VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phíXét hệ:  y  2 x  12222 x  xy  y  1  x  x  2 x  1   2 x  1  10,5 y  2 x  1x  0 x  1 y  2 x  1hoặc  2  x  0 y 1 y  13x  3x  0  x  10,5 y  2 x  1 53Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là: (0; 1),   ;   , 7 70,5(0; -1), (-1; 1)Sử dụng bất đẳng thức Cô siTa có:b2  a  1b2  a  1a 1b  ab(1)a1a1 a 122b 1b 12b2Tương tự:b 1c  bc(1) b 12c 12c 1a  cavà 2  c  1 (3)a 120,50,5Từ (1); (2) và (3) suy ra:3a 1 b 1 c 1 a  b  cab  bc  ca 2 2 32b 1 c 1 a 1220,5Mặt khác a2  b2  c2  ab  bc  cahay 3(ab  bc  ca)   a  b  c   92Do đó:a 1 b 1 c 1 a  b  cab  bc  ca 2 2 32b 1 c 1 a 12239= 3  326Vậya 1 b 1 c 1 3 . Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1b2  1 c 2  1 a 2  10,50,50,5VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phíAQPOMHBa2 MPA đồng dạng  M ...