Đề thi chọn HSG lớp 9 THCS môn Toán năm học 2013 - 2014 - Sở GD&ĐT Quảng Nam

Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập một cách thuận lợi chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi. Mời các em cùng tham khảo Đề thi chọn HSG lớp 9 THCS môn Toán năm học 2013 - 2014 - Sở GD&ĐT Quảng Nam dưới đây.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn HSG lớp 9 THCS môn Toán năm học 2013 - 2014 - Sở GD&ĐT Quảng NamSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOQUẢNG NAMĐỀ CHÍNH THỨCKỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCSNăm học 2013 – 2014Môn thi : TOÁNThời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)Ngày thi : 08/04/2014Câu 1 (4 điểm).a) Rút gọn biểu thức A  x  4 x  4  x  4 x  4 với x ≥ 4.a b cd e fb) Cho a, b, c, d, e, f là các số thực khác 0, thỏa mãn    1 và    0 .d e fa b c222abcTính giá trị của biểu thức B  2  2  2 .defCâu 2 (4 điểm).a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 – 14n – 256 là một số chính phương.b) Cho a là số tự nhiên lớn hơn 5 và không chia hết cho 5.8n4nChứng minh rằng a  3a  4 chia hết cho 5, với mọi số tự nhiên n.Câu 3 (6 điểm).a) Giải phương trình x 2  x  2014  2014 .x  y  z  2b) Giải hệ phương trình 22xy  z  4c) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1.Chứng minh rằng abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ 0.Câu 4 (3 điểm).a) Cho hình bình hành ABCD, các điểm M và N theo thứ tự thuộc các cạnh AB vàBC sao cho AN = CM. Gọi K là giao điểm của AN và CM. Chứng minh rằng KD là tiaphân giác của góc AKC.b) Cho ∆ABC vuông ở A (AB < AC). Biết BC = 4  4 3 và bán kính đường tròn nộitiếp ∆ABC bằng 2. Tính số đo góc B và góc C của ∆ABC.Câu 5 (3 điểm).Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Trên cạnh BC lấy một điểm D tùy ý (Dkhác B và C). Đường tròn tâm O1 qua D và tiếp xúc với AB tại B; đường tròn tâm O2qua D và tiếp xúc với AC tại C; hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là E.a) Chứng minh rằng khi D di động trên cạnh BC thì đường thẳng DE luôn đi qua mộtđiểm cố định.b) Giả sử ∆ABC cân tại A, chứng minh rằng tích AD.AE không phụ thuộc vào vị tríđiểm D trên cạnh BC.-------HẾT-------SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠOQUẢNG NAMKỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCSNăm học 2013 – 2014MÔN: TOÁNHƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨCI. Hướng dẫn chung:1. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án và đúng thì giám khảo căncứ vào thang điểm của đáp án để cho điểm hợp lí.2. Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấmphải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và phải được thống nhất trongHội đồng chấm thi.3. Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25II. Đáp án:Câua) Với x ≥ 4, ta có :Nội dungA  (x  4)  4 x  4  4  (x  4)  4 x  4  4x4 2 x4 22x4 22x4 2Xét các trường hợp :* Với x ≥ 8 ta có :A  x4 2 x4 22 x4* Với 4 ≤ x < 8 ta có :A  x4 2 x4 241(4đ) b) Với a, b, c, d, e, f là các số thực khác 0, ta có:2a b ca b c  1     1d e fd e f a 2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ac 2 2 21defdeefdfa 2 b 2 c 2 2abc  f d e  2 2 2    1defdef  c a b d e f  0Màa b ca 2 b2 c2Vậy B  2  2  2 = 1defĐiểm0,250,50,250,250,250,250,250,50,50,50,5CâuNội dunga) Đặt n – 14n – 256 = k (k  ) (n – 7)2 – k2 = 305 (n – 7 – k)(n – 7 + k) = 305Mà 305 = 305.1 = (–305).( –1) = 5.61 = (–5).( –61)và (n – 7 – k) ≤ (n – 7 + k) nên xét các trường hợp: n  7  k  1 n  7  k  305 n  7  k  305  n  7  k  1 n  7  k  5 n  7  k  61 n  7  k  61  n  7  k  52Điểm2  n  160  k  152  n  146  k  1522  n  40(4đ)  k  28  n  26  k  28Vì n và k là các số tự nhiên nên ta chọn n = 160 hoặc n = 40.b)A  a 8n  3a 4n  4   a 8n  1  3  a 4n  10,250,250,250,250,250,250,250,250,25nn  a 8   1  3  a 4   10,25  a 8  1  a 8 0,25n 1 a8 n 2n 1n 2 ...  1  3  a 4  1  a 4    a 4   ...  1  a 4  1 a 4  1 .B  3  a 4  1 .C  a 4  1  a 4  1 .B  3C   a 2  1 a 2  1 .DVì a là số tự nhiên lớn hơn 5 và không chia hết cho 5 nên:0,25Câuaaaa 5k 1   a  1 5Nội dung2 5k  2   a 2  1 5 5k  3   a 2  1 5(với k là số nguyên dương) 5k  4   a 2  1 5Điểm0,250,250,250,25Vậy  a 8n  3a 4n  4  5 với mọi số tự nhiên n.a) Điều kiện: x ≥ –2014Đặt t = x  2014  t 2 = x + 2014 (t ≥ 0)2 x  t  2014 (1)Ta có hệ sau :  2 t  x  2014 (2)Trừ vế theo vế phương trình (2) cho phương trình (1) ta được :t2 – x2 – x – t = 0 (t+x)(t – x – 1) = 0  t = –x hoặc t = x + 1 Với t = –x ta có : (–x)2 = x + 2014  x2 – x – 2014 = 0 (*)1  80571  8057Giải (*) được nghiệm x =(loại vì t ≥ 0) hoặc x =2222 Với t = x + 1 ta có: (x + 1) = x + 2014  x + x – 2013 = 0 (**)1  80531  8053Giải (**) được nghiệm x =hoặc x =(loại vì t≥0)221  80531  8057Vậy nghiệm của phương trình là: x =hoặc x =22S  x  y3 b) Đặt P  xy(4đ)S  2  zKhi đó từ hệ phương trình đã cho ta có: 1 2P z  42Theo cách đặt ta có x, y là nghiệm của phương trình: X2 – SX + P = 01 X 2  (2  z) ...