Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2013-2014 - Trường THPT Thái Thuận

Việc ôn tập sẽ trở nên dễ dàng hơn khi các em có trong tay tài liệu "Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2013-2014 - Trường THPT Thái Thuận". Đề thi gồm 6 bài tập được trình bày khoa học và logic theo chương trình học, tham khảo để các em làm quen với dạng đề, dạng bài tập từ đó rút ra phương pháp ôn thi có hiệu quả hơn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2013-2014 - Trường THPT Thái ThuậnS GD&ðT B C GIANGTRƯ NG THPT THÁI THU Nð THI CH N HSG C P TRƯ NGNĂM H C 2013 – 2014Môn thi: Toán l p 12Th i gian làm bài: 180 phútx−2có ñ th (C).x +11) Kh o sát s bi n thiên và v ñ th (C) c a hàm s .Câu I (4 ñi m). Cho hàm s y =2) Ch ng minh r ng ñư ng th ng ( ∆) : 2x + y + m = 0 luôn c t ñ th (C) t i haiñi m phân bi t A và B thu c hai nhánh c a ñ th . Xác ñ nh m sao cho AB ng n nh t.Câu II (4 ñi m).1) Gi i phương trình:5πππ 5x9xsin( + 3x) + cos( − 7x) = 2sin 2 ( + ) − 2cos 2.224 22 xy + x + y = x 2 − 2y 22) Gi i h phương trình: ( x, y ∈ ℝ ) . x − 1 + 2y − 3 = 3n3Câu III (2 ñi m). Tìm h s c a s h ng ch a x trong khai tri n  2x 2 +  .xTrong ñó n ∈ ℕ và th a mãn: log 4 (n − 3) + log 5 (n + 6) = 4 .Câu IV (2 ñi m). Tìm m ñ b t phương trình: m.4 x + ( m − 1) .2 x + 2 + m − 1 > 0ñúng ∀x ∈ ℝ .Câu V (6 ñi m).1) Cho hình chóp S. ABC có góc ((SBC), (ACB)) = 600, ABC và SBC là các tam8giác ñ u c nh a. (Hình chi u c a S n mmi n trong tam giác ABC)a. Tính theo a th tích kh i chóp S.ABC và kho ng cách t B ñ n m t ph ng (SAC).b. Xác ñ nh tâm m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC.2) Trong m t ph ng Oxy cho ñi m A(2;–3), B(3;–2), ∆ABC có di n tích b ng3;2tr ng tâm G c a ∆ABC thu c ñư ng th ng (d): 3x – y – 8 = 0. Tìm t a ñ ñi m C vàbán kính ñư ng tròn n i ti p ∆ ABC.Câu VI (2 ñi m). Cho ba s th c dương a, b, c th a:a3b3c3++=1a 2 + ab + b 2 b 2 + bc + c2 c2 + ca + a 2Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c S = a + b + c .------------------ H t -------------------Thí sinh không ñư c s d ng tài li u. Cán b coi thi không gi i thích gì thêm.H và tên thí sinh: ……………………………; S báo danh: …………………..ðÁP ÁN CH N HSG TOÁN 12 – 2014Câuðáp ánH c sinh t gi iI1(42 Pthñgñ chung: 2x 2 + (3 + m)x + m − 2 = 0 v i x ≠ −1ñi mCm pt có 2 nghi m pb tm: x1 < −1 < x 2 ⇔ x1 x 2 + x1 + x 2 + 1 < 0 ⇔ −3 < 0 ñúng v i m i m.)GS A(x1 ; −2x1 − m), B(x 2 ; −2x 2 − m)5Có AB2 = 5(x1 − x 2 ) 2 = 5  (x1 + x 2 ) 2 − 4x1x 2  =  (m − 1) 2 + 24  ≥ 30 4Suy ra ABmin = 30 khi m = 1Câu 15πππ 5x9xsin( + 3x) + cos( − 7x) = 2sin 2 ( + ) − 2 cos 2II224 22(4⇔ ( cos 3x + cos 9x ) + ( sin 7x − sin 5x ) = 0ñi m⇔ 2 cos 6x ( cos 3x + sin x ) = 0)π kπ x = 12 + 6cos 6x = 0π⇔⇔  x = + mπcos 3x = cos( π + x)42 x = − π + nπ8 2ðKXð: x ≥ 1; y ≥k, m, n ∈ Ζ0.50.250.50.250.2532(xy + x 2 ) + x + y = 2x 2 − 2y 2H phương trình tương ñương:  x − 1 + 2y − 3 = 3  x + y = 0 ( loai )( x + y )(1 − x + 2y ) = 0⇔⇔ 1 − x + 2y = 0 x − 1 + 2y − 3 = 3 x − 1 + 2y − 3 = 32y = x − 1⇔ x − 1 + x − 4 = 3 ( *)x ≥ 4PT ( *) ⇔ 22x − 5 + 2 x − 5x + 4 = 9x ≥ 44 ≤ x ≤ 74 ≤ x ≤ 7⇔ x = 5 ( TM )⇔ 2⇔ 22 ⇔ x = 5 x − 5x + 4 = 7 − x x − 5x + 4 = ( 7 − x )V i x = 5 ⇒ y = 2 . KLCâuIII(2ñi m)0.50.50.5KL2ði m2.00.250.50.25Phương trình: log 4 (n − 3) + log 5 ( n + 6) = 4 có nghi m duy nh t n = 19. (Vì VT là hàm sñ ng bi n nên ñ th c t ñư ng th ng y = 4 t i m t ñi m duy nh t).0.250.250.250.250.50.251.0n19 2 3k 19− k k 38−3k 2x +  = ∑ C19 2 3 xx  k =00.50.25T gt suy ra 38 − 3k = 8 ⇔ k = 10KL: C10 29310190.251ð t t = 2 x > 0 thì m.4 x + ( m − 1) .2 x + 2 + m − 1 > 0 ñúng ∀x ∈ ℝm.t 2 + 4 ( m − 1) .t + ( m − 1) > 0, ∀t > 0 ⇔ m ( t 2 + 4t + 1) > 4t + 1, ∀t > 0CâuIV(2ñi m)⇔ g(t) =[ 0; +∞ )4t + 1 < m, ∀t > 0 . Ta có g′ ( t ) = −4t 2 − 2t < 0 nên g ( t ) ngh ch bi n trênt + 4t + 1( t 2 + 4t + 1) 22suy ra ycbt ⇔ Max g ( t ) = g ( 0 ) = 1 ≤ m0.50.5t≥0Câu 1 G i M là trung ñi m c a BC và O là hình chi u c a SVa lên AM. CM SO ⊥ mp(ABC)(6SM =AM = a 3 ; AMS = 600 vàñi m2)⇒ d(S; BAC) = SO = 3a4G i VSABC- là th tích c a kh i chóp S.ABC3⇒ VS.ABC = 1 S∆ABC .SO = a 3 (ñvtt)3161SM t khác, VS.ABC = ∆SAC .d(B;SAC)3∆SAC cân t i C có CS =CA =a; SA = a 32A2a 13 3⇒ S∆SAC =163VS.ABC= 3a (ñvñd).V y: d(B; SAC) =S∆SAC131 Tam giác SAM ñ u suy ra O là trung ñi m c a AMb G i G là tr ng tâm c a tg ABC, suy ra G là tâmñư ng tròn ngo i ti p tg ABC.Trong (SAM) d ng ñư ng th ng (d) qua G và songsong v i SO suy ra d ⊥ (ABC) .D ng trung tr c c a SA trong (SAM) c t (d) t i I.CM I là tâm m t c u20.50.5G i C(a; b) , (AB): x –y –5 =0 ⇒ d(C; AB) =a−b−52(=0.50.5S0.5NIOC0.5GMB0.50.50.52S∆ABCAB0.5) a − b = 8(1);Tr ng tâm G a + 5 ; b − 5 ∈ (d) ⇒ 3a –b =4 (3)⇒ a−b−5 =3⇔ 33 a − b = 2(2)3T (1), (3) ⇒ C(–2; 10) ⇒ r = S =p2 + 65 + 893.T (2), (3) ⇒ C(1; –1) ⇒ r = S =p2 +2 5Câua32a − bCM: 2≥(1) ⇔ 3a3 ≥ (2a – b)(a2 + ab + b2)VI2a + ab + b3(2⇔ a3 + b3 – a2b – ab2 ≥ 0ñi m⇔ (a + b)(a – b)2 ≥ 0. (h/n))b32b − cc32c − a≥(2) , 2≥(3)Tương t : 222b + bc + c3c + ac + a3C ng v theo ...