Đề thi HSG môn Toán lớp 10 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

Kì thi HSG cấp tỉnh sắp diễn ra, nhưng bạn chưa hài lòng với kiến thức mình đã ôn tập. Hãy tham khảo thêm "Đề thi HSG môn Toán lớp 10 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc" để nắm vững kiến thức và nâng cao tư duy Toán học nhé! nội dung đề thi bám sát chương trình học, cấu trúc trình bày rõ ràng và khoa học. Mời các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi HSG môn Toán lớp 10 năm 2012-2013 - Sở GD&ĐT Vĩnh PhúcCHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIAMÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚCKỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013ĐỀ CHÍNH THỨCĐỀ THI MÔN: TOÁN(Dành cho học sinh THPT Chuyên)Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đềCâu 1 (3,0 điểm).1. Giải hệ phương trình 11  x  3 y  3 x  y x 2 y11 2  y 2  x2 x 2 y x, y  2. Tìm tất cả các giá trị của a, b sao cho phương trình x 3  ax 2  bx  3a  0 có cácnghiệm đều là các số nguyên dương.Câu 2 (2,0 điểm). Giả sử a, b, c, d là các số nguyên sao cho a  b  c  d là số nguyên lẻ vàchia hết a 2  b 2  c 2  d 2 . Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n đều cóa  b  c  d chia hết a n  b n  c n  d n .Câu 3 (3,0 điểm). Trong mặt phẳng cho tam giác ABC không cân ngoại tiếp đường tròntâm I. Lấy E và F lần lượt trên các đường thẳng AC và AB sao cho CB  CE  BF ,đồng thời chúng nằm về cùng một phía với A đối với đường thẳng BC. Các đườngthẳng BE và CF cắt nhau tại G.1. Chứng minh rằng bốn điểm C, E, I và G cùng nằm trên một đường tròn.2. Trên đường thẳng qua G và song song với AC lấy điểm H sao cho HG  AF đồngthời H khác phía với C đối với đường thẳng BG.12Chứng minh rằng EHG  ·CAB.Câu 4 (1,0 điểm). Ký hiệu å để chỉ tập hợp các số thực khác 0. Tìm tất cả các hàm số fxác định trên å , nhận giá trị thực và thỏa mãn1y1xxf  x    yf ( y )   yf  y    xf ( x)  x, y  0yxxyCâu 5 (1,0 điểm). Một số nguyên dương được gọi là dễ thương nếu trong biểu diễn thậpphân của nó không có chứa chữ số 0 và tổng bình phương các chữ số của nó là một sốchính phương.1. Tìm số dễ thương lớn nhất có hai chữ số.2. Hỏi có hay không số dễ thương có 2013 chữ số?www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807Trang | 1CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIAMÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017ĐÁP ÁNI. LƯU Ý CHUNG:- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài họcsinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng vớiphần đó.II. ĐÁP ÁN:Câu1(3đ)ĐiểmNội dung trình bày1.1 (1,5 điểm)Điều kiện x, y  0Đặt0,25x  a  0, y  b  0; viết hệ đã cho về dạng1 12222 a  2b   a  3b  3a  b  1  1  2  b4  a4  a 2b(1)0,25(2)2 a 4  10a 2b 2  5b 4  a5  10a 3b 2  5ab 4  2a1(2)-(1) thu được  5a 4  10a 2b 2  b 4  5a 4b  10a 2b3  b5  1b(1)+(2) thu được(3)(4)Từ (3) và (4) thu được ( a  b )5  3 và ( a  b )5  1 .5Từ đó, tìm được a 0,250,250,2553 13 1và b .220,25( 5 3  1)2( 5 3  1)2,yVà do đó, tìm được x 441.2 (1,5 điểm)Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm nguyên dương      . Khi đó, theođịnh lý Vietta,       a,       b và   3a và do đó   (1)0,253 3  3  3      3   3  3 2  9 (2).Nếu   3 thì   3 và3 3       3, mâu thuẫn với (1). Vậy0,251   3www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807Trang | 2CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIAMÔN TOÁN NĂM 2016 - 20172Với   3 : khi đó   3,  3  3  3  3   3.3  9    1   1  4. Từ đó0,25    3  a  9, b  27.Với   2 :   2,  2  3 2   3  3.2 2  9   2  3 2   3   21. Giải phươngtrình này với chú ý     2 ta được  ;    12; 2  ,  5;3 . Với  12,   2  a  16, b  52 . Với   5,   3  a  10, b  31.0,5Với   1:   1,  2  3 2   3   3.12  9   2  3  2   3  12, vô líVậy tất cả các cặp số  a; b    9;27  ,  16;52  ,  10;31 .2(2đ)0,25+ Chứng minh được nhận xét: “Với a,b,x,y,z,t là các số nguyên sao cho a  b làước của x  y và là ước của z  t thì a  b | xz  yt ”0,25+ Mặt khác, do ( a  c ) 2  (b  d ) 2  ( a  b  c  d )(a  b  c  d )  ( a  b  c  d ) nên suyraa  b  c  d | a 2  b 2  c 2  d 2  2( ac  bd ) .Từ đó, do giả thiết nên thu được a  b  c  d | ac  bd(1)+ Ta sẽ chứng minh kết luận của bài toán bằng phương pháp quy nạp toán học.Với n  1, 2 : thì kết luận hiển nhiên đúng.0,250,25Giả sử khẳng định đúng tới n, tức là a  b  c  d | a n  b n  c n  d n với n  , n  2Ta cần chứng minh a  b  c  d | a n 1  b n 1  c n 1  d n 1(2)Thật vậy, do a  b  c  d | (a  c )  (b  d ) và nhận xét ở trên suy ra a  b  c  d làước của( a  c )( a n  c n )  (b  d )(b n  d n )  a n 1  b n 1  c n 1  d n 1  ac( a n 1  c n 1 )  bd (b n 1  d n 1 )Nhưng, do (1), giả thiết quy nạp và nhận xét ở trên suy raa  b  c  d | ac( a n 1  c n 1 )  (bd (b n 1  d n 1 )0,250,250,25Vậy suy ra a  b  c  d là ước của( a  c)( a n  c n )  bd (b n  d n ...