Đề thi HSG môn Toán lớp 10 năm 2014-2015 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

Mời quý thầy cô và các em học sinh tham khảo "Đề thi HSG môn Toán lớp 10 năm 2014-2015 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc". Thông qua việc tham khảo tài liệu để quý thầy cô tích lũy thêm kiến thức bài giảng, kinh nghiệm ra đề và có thêm tài liệu ôn thi hữu ích cho học sinh. Các em ôn tập và rèn luyện kỹ năng giải đề.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi HSG môn Toán lớp 10 năm 2014-2015 - Sở GD&ĐT Vĩnh PhúcCHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIAMÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚCKỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2014-2015ĐỀ THI MÔN: TOÁNĐỀ CHÍNH THỨC(Dành cho học sinh THPT không chuyên)Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đềCâu 1 (2,0 điểm).Tìm tập xác định của hàm số: f  x  2014 x2  2 x  32015x2  2x.Câu 2 (1,0 điểm).a) Chứng minh rằng hàm số f  x  xđồng biến trên khoảng  1;   .x 1b) Chứng minh rằng hàm số f  x   2015  x  2015  x là một hàm số lẻ.Câu 3 (1,0 điểm).Giải phương trình: 19  3x  4  x 2  x  6  6 2  x  12 3  x .Câu 4 (1,0 điểm). x 2  2 y 2  3xy  y  1  022x  y  y  3  0Giải hệ phương trình: Câu 5 (1,0 điểm).Tìm tất cả các giá trị của m sao cho bất phương trình  m  1 x 2  2  m  2  x  2m  2  0vô nghiệm (x là ẩn, m là tham số).Câu 6 (1,0 điểm).Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn tâm O và G là trọng tâm của tam giácABC. Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm tam giác OBC, OCA, OAB và G’ là trọng tâm tam giácMNP. Chứng minh rằng O, G, G’ thẳng hàng.Câu 7 (1,0 điểm).Cho tam giác ABC không vuông và có các cạnh BC  a, CA  b, AB  c . Chứng minhrằng nếu tam giác ABC thỏa mãn a 2  b 2  2c 2 và tan A  tan C  2 tan B thì tam giác ABC đều.Câu 8 (1,0 điểm).Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC không là tam giác vuông và nộitiếp đường tròn (I) ( đường tròn (I) có tâm là I ); điểm H  2; 2  là trực tâm tam giác ABC. Kẻcác đường kính AM, BN của đường tròn (I). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biếtM  5;3  , N 1;3 và đường thẳng BC đi qua điểm P  4; 2  .Câu 9 (1,0 điểm).www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807Trang | 1CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIAMÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a  b  c  2015 . Chứng minh rằng: 2015  a2015a  a 2 2015b  b 2 2015c  c 22015  b2015  c 6  2 2.bccaababc-------------Hết-------------www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807Trang | 2CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIAMÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017ĐÁP ÁNNội dung trình bàyCâu1 (2,0 điểm)Điểm x 2  2 x  3  02x  2x  0Hàm số f  x  xác định khi và chỉ khi  1  x  3  x  2 x  00,52  x  3. Vậy tập xác định của hàm số f  x  là S   1;0    2;31  x  021,00,5(1,0 điểm)a.(0,5 điểm)Với mọi x1 , x2   1;   , x1  x2 ta có:Kf  x1   f  x2 x1  x2x1x 2x  1 x2  1 1x1  x20,25x1  x2  1  x2  x1  1x1  x210 x1  x2  x1  1 x2  1  x1  x2  x1  1 x2  1  x1  1 x2  10,25(Do x1 , x2   1;   ).Do đó K  0  f  x  đồng biến trên  1;   .b.(0,5 điểm)Tập xác định của hàm số là D   2015; 2015 . Với mọi x  D , ta có  x  D ,f   x   2015  x  2015  x  32015  x  2015  x   f  x  suy ra f  x 0,250,25là hàm số lẻ.(1,0 điểm) x 2  x  6  0 3  x  2 .Điều kiện xác định: 2  x  03  x  00,25Bất phương trình đã cho tương đương với:19  3 x  4 2  x  3  x   6 2  x  2 3 xĐặt t  2  x  2 3  x , t  0 ta có:t 2  2  x  4 3  x   4 2  x  3  x   14  3 x  4  2  x  3  x t  1Thay vào phương trình trên ta được: 5  t  6t  t  6t  5  0  t  52www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 8070,252Trang | 3CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIAMÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017+) t  1  2  x  2 3  x  1  2  x  4  3  x   4  2  x  3  x   10,252 3 x  13  4  x  x  6  0 vô nghiệm do 3  x  2+) t  5  2  x  2 3  x  5  2  x  4  3  x   4  2  x  3  x   2516   x 2  x  6   11  3 x  2 4  x  x  6  11  3 x  11  3x  020,2525 x 2  50 x  25  0  11 x  1 thỏa mãn điều kiện.x3Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S  1 .4(1,0 điểm) x 2  2 y 2  3 xy  y  1  0 1I  2x  y2  y  3  0 20,25 x  y 1Ta có 1   x  y  1 x  2 y  1  0  x  2y 1y  2Với x  y  1 thay vào (2) ta được 2 y  3 y  2  0  y   12+) y  2  x  1 .2120,2532+) y    x   . y  1Với x  2 y  1 thay vào (2) ta được 5 y  3 y  2  0  2y 52+) y  1  x  1 .+) y 29x .55 31 9 2Vậy, hệ (I) có nghiệm  x; y  là: 1;2  ,  1;  1 ,   ;   ,  ;  . 2 2 5 550,250,25(1,0 điểm)Bất phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi0,25 m  1 x 2  2  m  2  x  2m  2  0 x TH1. Nếu m  1 thì 6 x  4  0, x 2 x   , x 3vô lí.0,25TH2. Nếu m  1 thì  m  1 x 2  2  m  2  x  2m  2  0 x m  1  0m  1 22   m  2    m  1 2m  2   0  m  4m  6  0www.vclass.hoc ...