Đề thi HSG Toán 9 cấp thành phố năm 2017 Phòng GD&ĐT TP Thanh Hoá

Mời các bạn và quý thầy cô hãy tham khảo Đề thi HSG Toán 9 cấp thành phố năm 2017 Phòng GD&ĐT TP Thanh Hoá có đáp án giúp các em củng cố kiến thức của mình và thầy cô có thêm kinh nghiệm trong việc ra đề thi.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi HSG Toán 9 cấp thành phố năm 2017 Phòng GD&ĐT TP Thanh HoáPHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐTHANH HÓANĂM HỌC 2016 - 2017Môn Toán: Lớp 9ĐỀ CHÍNH THỨC(Thời gian làm bài: 150 phút)Bài 1: (5,0 điểm) x21  x 1x. Với x  0, x  1.:2x x 1 x  x 1 1 x Cho biểu thức: P  a) Rút gọn biểu thức P.b) Tìm x để P 2.7c) So sánh: P2 và 2P.Bài 2: (4,0 điểm)a) Tìm x, y  Z thỏa mãn: 2 y 2 x  x  y  1  x 2  2 y 2  xyb) Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn điều kiện:21 1 11 1 1     2 2 2.b ca b c aChứng minh rằng: a 3  b3  c3 chia hết cho 3.Bài 3: (4,0 điểm)a) Giải phương trình sau:4 x 2  20 x  25  x 2  6 x  9  10 x  20b) Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1.Bài 4: (6,0 điểm)Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB. Gọi E là giaođiểm của CN và DA. Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F. Lấy M là trung điểmcủa EF.a) Chứng minh: CM vuông góc với EF.b) Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng.c) Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích củahình vuông ABCDBài 5: (1,0 điểm)Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:abcabcab bc cabccaab-------------- Hết-----------Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9Bài Câu1aNội dungĐiểmĐiều kiện: x  0, x  1.0,5 x2Px x 1 x x23 x 1 x 0,5 bx1  x 1:2x 1 1 x x1  x 1: 2x 1x 1 x  2  x ( x  1)  ( x  x  1)x  2 x 1x 1 x  x 1x 1 x  x 1.:x 122x 10,50,52x  x 1Với x  0, x  1. Ta có:P270,522x  x 1 71,0 x  x 1  70,25 x x 60 ( x  2)( x  3)  0Vìx  3  0 nênVậy P =c0,25x  2  0  x  4 (t/m)2khi x = 47Vì x  0  x  x  1  10,2522x  x 1 0P2 P ( P  2)  0 00,25 P2  2P  00,25 P2  2PDấu “=” xảy ra khi P = 2  x = 00,25Vậy P2  2P2a2 y2 x  x  y  1  x2  2 y2  xy 2 y2 x  x  y  1  x2  2 y2  xy  0  x  1 (2 y2  y  x)  10,50,25Vì x, y Z nên x - 1 Ư(-1) = 1; 1+) Nếu x – 1 = 1  x = 20,5Khi đó 2y2 - y – 2 = - 1 y = 1 (t/m) hoặc y =1Z (loại)2+) Nếu x – 1 = -1  x = 00,5Khi đó 2y - y = 12 y = 1 (t/m) hoặc y =1Z (loại)20,25x  2 x  0; y 1 y 1Vậy ba) Từ giả thiết1 1 11 1 1(   )2  2  2  2a b cab c111 2(   )  0ab bc caVì a, b, c  0 nên a + b + c = 00,50,50,5 a  b  c  a  b    c 0,25 a 3  b3  3ab(a  b)  c30,2533 a 3  b3  c3  3abcVậy a 3  b 3  c3 3với a, b, c  ZLưu ý: Nếu học sinh sử dụng hằng đẳng thứcx3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)mà không chứng minh thì trừ 0,5 điểm.3aĐkxđ: x  R0,254 x 2  20 x  25  x 2  6 x  9  10 x  20Vì4 x 2  20 x  25  x 2  6 x  9  0 với x 10x – 20  0  x  20,5Ta có:4 x 2  20 x  25  x 2  6 x  9  10 x  20 2 x  5  x  3  10 x  20 2 x  5  x  3  10 x  20 7 x  28 x  4(t / m)0,50,50,25Vậy phương trình có nghiệm là x = 4bx2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.0,5  x  y   7( x  y )  10   y 22 ( x  y  2)( x  y  5)   y 2  0 4  x  y  1  1* x + y + 1 = - 4 khi x = - 5; y = 0* x + y + 1 = - 1 khi x = - 2; y = 0Vậy Amin = - 4 khi x= - 5; y = 0Amax = - 1 khi x = -2; y = 00,50,50,5